隐函数及其求导方法ppt课件

,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,隐函数及其求导方法,2013-1-23,隐函数及其求导方法2013-1-23,1,案例导出,案例：,由方程x,3,+y,3,=6xy所确定的函数y=y(x)对应的平面曲线一般称为笛卡尔叶形线。请求出笛卡尔叶形线在点（3，3）处的切线方程。,案例导出案例：,2,案例分析,根据导数的几何意义，要求笛卡尔叶形线在点（3，3）处的切线方程，只要求出切线的斜率y（3），但由方程x,3,+y,3,=6xy所确定的函数y=y(x)与我们前面所遇到的函数有所不同，前面我们遇到的不管是一元函数还是二元函数，都是因变量可由含有自变量的数学表达式直接表示出来的函数形式，如y=sinx,y=1-x,2,等，我们称这样的函数为显式函数。但是，有些时候函数的因变量与自变量之间的表达式却不是这样直接的，如方程x+y-10=0和z-x-y=0,换句话说，将因变量与自变量之间的函数关系隐藏在方程里，这种函数我们称为隐函数。案例中的函数就是隐函数。将隐函数化为显式函数，叫做隐函数的显式化。但案例中的函数无法显式化，求这种函数的导数或偏导数就称为隐函数求导。,案例分析根据导数的几何意义，要求笛卡尔叶形线在点（3，3）处,3,相关知识,一般地，如果变量x,y之间的函数关系由方程F(x,y)=0所确定，这样的函数称为由方程F(x,y)=0确定的一元隐函数。类似地，由方程F(x,y,z)=0确定的二元函数z=f(x,y)称为二元隐函数。,相关知识一般地，如果变量x,y之间的函数关系由方程F(x,y,4,隐函数的解法,.对确定的隐函数的方程两边关于自变量求导,.公式法求隐函数的导数,隐函数的解法.对确定的隐函数的方程两边关于自变量求导,5,方法一：等式两边关于自变量求导,我们知道，一元隐函数y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，对方程两边同时关于自变量x求导，注意到y是x的函数，利用复合函数求导方法，可以得到一个含有y的方程，解出y即找到了一元隐函数的导数。,方法一：等式两边关于自变量求导我们知道，一元隐函数y=f(x,6,方法二：公式法求隐函数的导数,(1).方程F(x,y)=0,可以确定一个一元隐函数，如y=y(x),可以得到一元隐函数的求导公式dy/dx=-F,x,/F,y,.,(2).方程F(x,y,z)=0,可以确定一个二元隐函数，如z=z(x,y),也可类似地得到二元隐函数的求导公式dz/dx=-F,x,/F,z,dz/dy=-F,y,/F,z,.,方法二：公式法求隐函数的导数(1).方程F(x,y)=0,可,7,典型例题,例题1,设x,2,+2xy-ln(x+y)=0,求dy/dx.,解：设F(x,y)=x,2,+2xy-ln(x+y),Fx=2x+2y-1/x+y,Fy=2x-1/x+y,所以dy/dx=-Fx/Fy=1-2(x+y),2,/2x(x+y)-1,典型例题例题1,8,例题2,设e,z,=xyz,求dz/dx,dz/dy.,例题3,求出案例中笛卡尔叶形线在点（3,3）处的切线方程,例题4,求y=(1+x,2,),sinx,的导数.,例题2,9,例题五：,设z=f(x,y)由方程x,2,z+2y,2,z,2,+y=0确定，求 dz/dx,dz/dy.,解：两边同时求对x的偏导数，y看成常数，有,2xz+x,2,z,x,+2y,2,.,2z,.,z,x,=0,于是 z,x,=-2xz/x,2,+4y,2,z,同样，两边同时求对y的偏导数，x看成常数，有,z,y,=-(4yz,2,+1)/x,2,+,4y,2,z,用公式法解本题试试？,例题五：设z=f(x,y)由方程x2z+2y2z2+y=0确,10,例题六：,设y=f(x)由方程y=xlny确定，求y,解：令 F(x,y)=y-xlny,则 Fx=-lny Fy=1-x/y,于是 y=lny/(1-x/y)=ylny/(y-x)(y-x0),例题六：设y=f(x)由方程y=xlny确定，求y,11,随堂练习,1.设x,2,+2xy-y,2,=a,2,求y,x,2.设cos,2,x+cos,2,y+cos,2,z=1求z,x,z,y,3.设x,y,=y,x,求y,x,4.设x,2,/a,2,+y,2,/b,2,+z,2,/c,2,=1求z,x,z,y,5.设y=x,x,求y,x,随堂练习1.设x2+2xy-y2=a2求yx,12,课后作业,1.求下列方程所确定的隐函数y的导数,(1).x,2,-y,2,=,16,(2).xe,y,-ye,x,=x,(3).ysinx=cos(x+y),2.求下列函数的导数,(1).y=x,x,(2).y=x,2,e,2,/(1+x)x+2,3.求曲线y,3,=1+xe,y,在与y轴交点处的切线方程与法线方程,4.设z是由方程lnz=xyz所确定的隐函数，求z,x,z,y,课后作业1.求下列方程所确定的隐函数y的导数,13,