多元函数微分学与应用

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、函数、极限、连续,三、多元函数微分学,二、导数与微分,微分学,四、微分学应用,一、函数、,极,极限、连续,1.,一元函数,显函数,定义域：使表,达,达式有意义的,实,实数全体或由,实,实际意义确定,。,。,隐函数,参数方程所表,示,示的函数,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,复合函数,(,构造新函数的,重,重要方法,),初等函数,由基本初等函数,经有限次四则运算与有,限,限次,复合而成且能,用,用一个式子表示的函,数,数,.,例如,.,函数,基本初等函数,:,常数、幂函数,、,、指数函数、,对,对数函数、三,角,角函数和反三,角,角函数,2,极限,极限定义的等,价,价形式,(,以 为例,),极限运算法则,无穷小,无穷小的性质,;,无穷小的比较,;,常用等价无穷,小,小,:,两个重要极限,等价无穷小代,换,换,存在,(,或为,),定理,(,洛必达法则,),说明,:,定理中,换为,之一,条件,2),作相应的修改,定理仍然成立,.,洛必达法则,3.,连续与间断,函数连续的定,义,义,函数间断点,第一类（左右,极,极限存在）,第二类（左右,极,极限至少有一,个,个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定,义,义区间内连续,例,1.,设函数,在,x,=0,连续,则,a,=,b,=.,提示,:,例,2.,若,，求,a,与,b,的值。,二、导数和,微,微分,导数,定义,:,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分,:,关系,:,可导,可微,导数几何意义,:,切线斜率,1.,有关概念,例,3.,设,在,处连续,且,求,解,:,2.,导数和微分的,求,求法,正确使用导数,及,及微分公式和,法,法则,（要求记住！,）,）,高阶导数的求,法,法,(,逐次求一阶导,数,数）,例,4.,求函数,的导数,解：,例,5.,求函数,在,x,处的微分,解：,三、多元函数,微,微分法,1.,多元显函数求,偏,偏导和高阶偏,导,导,2.,复合函数求偏,导,导,注意正确使用,求,求导符号,3.,隐函数求偏导,将其余变量固,定,定，对该变量,求,求导。,4.,全微分,5.,重要关系,:,函数可导,函数可微,偏导数连续,函数连续,例,6.,已知,解,:,为正常数），,求,求,解：设,则,例,7.,设,四、导数与,微,微分的应用,1.,导数的几何意,义,义,例,8.,求曲线,上切线平行于,x,轴的点。,解：由,解得,得,代入,所求点为：,函数单调性的,判,判定及极值求,法,法,若,定理,1.,设函数,则 在,I,内单调递增,(,递减,).,在开区间,I,内可导,2.,函数的性态,:,注意,:,1),函数的极值是,函,函数的局部性质,.,2),对常见函数,极值可能出现,在,在导数为,0,或不存在的点,.,极值第一判别,法,法,且在空心邻域,内有导数,(1),“,左,正,右,负,”,(2),“,左,负,右,正,”,极值第二判别,法,法,二阶导数,且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,例,9.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,因,故 为极小值,;,又,故需用第一判,别,别法判别,.,定理,2.,(,凹凸判定法,),(1),在,I,内,则 在,I,内图形是凹的,;,(2),在,I,内,则 在,I,内图形是凸的,.,设函数,在区间,I,上有二阶导数,凹弧凸弧的分,界,界点为拐点,例,9.,求曲线,的凹凸区间及,拐,拐点,.,解,:,1),求,2),求拐点可疑点,坐,坐标,令,得,对应,3),列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点,(0,1),及,均为拐点,.,凹,凹,凸,的连续性及导,函,函数,例,10.,填空题,(1),设函数,其导数图形如,图,图所示,单调减区间为,;,极小值点为,;,极大值点为,.,提示,:,的正负作,f,(,x,),的示意图,.,单调增区间为,;,说明,:,使偏导数都为,0,的点称为驻点,.,极值必要条件,函数,偏导数,但驻点不一定,是,是极值点,.,且在该点取得,极,极值,则有,存在,多元函数极值,与,与最值问题,极值的必要条,件,件与充分条件,时,具有极值,极值充分条件,的某邻域内具,有,有一阶和二阶,连,连续偏导数,且,令,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,极值问题,无条件极值,:,条 件 极,值,值,:,条件极值的求,法,法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值,问,问题,对自变量只有,定,定义域限制,对自变量除定,义,义域限制外,还有其它条件,限,限制,例如,转化,引入辅助函数,则极值点满足,:,方法,2,拉格朗日乘数,法,法,.,解该方程组，,得,得极值点。,