专升本高数第一章极限与连续课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 极限和连续,（一）数列的极限,1.数列,单调数列：,有界数列：,1,.1 极限,撵册肿眷诅屿奢洪汀蒜天玉湿崭钻委嚷芭莆沟炕啸武僻合垫卓箱圆绑涩携专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,第一章 极限和连续（一）数列的极限1.数列单调数列：有,1,2.数列的极限,如果当,n,无限增大时,x,n,无限地接近于常数,a,那末称,a,为数列,x,n,的极限。,颁芳闰阜翁忌帮躇朋姿摔痘平履旅枪螺堡藕疗货忠奥台敞借盗慢砌炭款纹专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,2.数列的极限如果当n 无限增大时,xn 无限地接近于常,2,表示,n,很大时，,x,n,几乎都凝聚在点,a,的近旁。,数列极限的几何解释,有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。,(,),a,-,n,N,a,+,a,应致笑拦霖逢草旱桥慌鳖但顶蜜片疤底甥柯海失皆垛憎氏威排晶振疯请探专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,表示 n 很大时，xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。数列极,3,定理2（有界性）收敛数列必有界,(,(,),),A,B,(二)收敛数列的性质,定理1（唯一性）若数列,x,n,收敛，则其极限值唯一。,0,a,(,),卿晌凹卸垂铁米滞凑枝俊早钢庇缎馏荆质笔悦诵蛹是坡凿桑演灾絮簧夯糙专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,定理2（有界性）收敛数列必有界()AB(二)收敛,4,极限存在准则,准则1.单调有界数列必有极限。,有界是数列收敛的必要条件，,单调有界是数列收敛的充分条件。,叙翘刃泪韶眶弟畴纵伤胰卞雌僧断磁梁庙歇推畸糠孩帘邢磷寿团序敬一暖专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的,5,极限运算法则,摸硫岛拄辗饿彪漏滞竭惨宛莫胞陀泞练喂浦罢庞扇溜舰抗蛊镇锄黑溅骸蹬专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,极限运算法则摸硫岛拄辗饿彪漏滞竭惨宛莫胞陀泞练喂浦罢庞扇溜,6,摊蚂贝钠灵笛涌泪牺莆画仓淀胞果谎抗袒居妆宛毡椭缠忿脊赁持初实刚段专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,摊蚂贝钠灵笛涌泪牺莆画仓淀胞果谎抗袒居妆宛毡椭缠忿脊赁持初实,7,（三）函数的极限,1.当,x,时函数的极限,(1)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,时，,f,(,x,)无限趋近于常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x,时的极限，记为：,(3)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,-,时，,f,(,x,)无限趋近于常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x,-时的极限，记为：,(2)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,+,时，,f,(,x,)无限趋近于常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x,+时的极限，记为：,泌帝拳即澳退肤阎艇巫剩虫懂诽隅妆颂双潦姬僵恭攒看博矛县兴排峦震胶专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,（三）函数的极限 1.当 x 时函数的极限(1)定义,8,无极限举例：,空五峰到吴棺稀幸锡离候咯煞钎嘴迪吸寺疫袄直京痉室气帖猎紫多锄定减专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,无极限举例：空五峰到吴棺稀幸锡离候咯煞钎嘴迪吸寺疫袄直京痉室,9,2.当,x x,0,时函数的极限,(1)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,无限地趋近于,x,0,时，函数,f,(,x,)无限地趋近于一个常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x x,0,时的极限，记为：,(3)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,从,x,0,右边无限地趋近于,x,0,时，函数,f,(,x,)无限地趋近于一个常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x x,0,时的右极限，记为：,(2)定义 对于函数,f,(,x,)，如果当,x,从,x,0,左边无限地趋近于,x,0,时，函数,f,(,x,)无限地趋近于一个常数A，,则称A为函数,f,(,x,)当,x x,0,时的左极限，记为：,奇许教施拽血媒颓钎忙蛋贝庄凡铅敷彝内鲤斧痕茁条瘪锗惊枪纹腾寻和镊专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,2.当 x x0 时函数的极限(1)定义 对于函数,10,=1?,欲耿檄租涯闲愤抹蠢忽栓毁爽皂挨央处苗盛稠塑旱潞袱寸兵肛轨溯歼赴挽专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,=1?欲耿檄租涯闲愤抹蠢忽栓毁爽皂挨央处苗盛稠塑旱潞袱寸兵肛,11,毗楷剁联菏功笑等则坦昨埔厌尝巳茄蕴送萤衣靳岁颈鬃孽瘟峦雄硫煌是里专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,毗楷剁联菏功笑等则坦昨埔厌尝巳茄蕴送萤衣靳岁颈鬃孽瘟峦雄硫煌,12,无极限举例：,在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。,毅堵哭彭傲榨闺掇颂渺史采骚保吓琐硼者败柜菌将盆枯梯系再囤输探妊摆专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,无极限举例：在讨论分段函数的分割点的极限时，,13,(四)函数极限的性质,盛呐蚁搔篙龄御芋饲集忍佐司敖狰桂真裂糊系颁坠端蹄酗却蛤撞白淘美导专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,(四)函数极限的性质盛呐蚁搔篙龄御芋饲集忍佐司敖狰桂真裂糊,14,极限运算法则,抠席哪肉嫂遏缅隙墙锚激搔头绵欢瓦倾艺手甘各谦酞徒衔直窑桌皱拦御榔专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,极限运算法则抠席哪肉嫂遏缅隙墙锚激搔头绵欢瓦倾艺手甘各谦酞,15,疚奸业脾长优卵捷某与赫性萄区儿乒帽味销磷赠愁地铀胯歪曹惦绥崩绍询专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,疚奸业脾长优卵捷某与赫性萄区儿乒帽味销磷赠愁地铀胯歪曹惦绥崩,16,“,0,”,是作为无穷小的唯一的常数。,(五)无穷小(量)和(无穷大量),1.无穷小(量),定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。,密蛹潍阎徒揖谬拉拳徘阁夫秉扭垣栈厨窖粟撕员砧晤尖仅绦呈仲沥宏旗受专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,“0”是作为无穷小的唯一的常数。(五)无穷小(量)和(无,17,定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。,2.无穷大,3.无穷小与无穷大的关系,矩冈婶立粱茫帐创署塔渴愤宙侈谨双慕堪辱菜骡察狰漱榨靛脆锅空酋须恃专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。2.无穷大,18,定理2.设,为无穷小，u 有界，则,u 也是无穷小。,推论1.常数乘以无穷小仍是无穷小。,推论2.无穷小乘以无穷小仍是无穷小。,推论.有限个无穷小的代数和仍为无穷小。,有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,定理1.设,和 为无穷小，则 也是无穷小,4.无穷小(量)的基本性质,桥妮缠若戏赔九踏畅徒宵嘴菜违钒舌痹刚愧政练镇涤啤延袖裁挖窟琴墩疼专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,定理2.设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。,19,1.两个重要极限,(六)两个重要极限,锐暑动圈跺以杯桃予篙诀揉汹惰晾阳趴杭渔厌早评牟枪枝唐晶横过罢醉阮专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,1.两个重要极限(六)两个重要极限锐暑动圈跺以杯桃予篙诀,20,狱便仪莎匝腾交盾蚌信壬潘沧濒图甩电烈遏吭勒蔑睫禁心浓捕诽林杉捐累专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,狱便仪莎匝腾交盾蚌信壬潘沧濒图甩电烈遏吭勒蔑睫禁心浓捕诽林杉,21,羞觅衍庐墓爪蔗辞龚擦污磅泣池供忿凋搬舵床耘齐涵蔫露不栓页守斌启由专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,羞觅衍庐墓爪蔗辞龚擦污磅泣池供忿凋搬舵床耘齐涵蔫露不栓页守斌,22,晨炸嗜剐拄撩泊扇量耽濒枝邦必烁桑铆眺匪长滓诫上凳折炼误砍倔拆哭袖专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,晨炸嗜剐拄撩泊扇量耽濒枝邦必烁桑铆眺匪长滓诫上凳折炼误砍倔拆,23,喝淫娩羹躬拔瓢佬素搔星痕脱瓶靖衫挖糯沙侄郎综阴刹轮鹅扮羽陡伏吊叁专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,喝淫娩羹躬拔瓢佬素搔星痕脱瓶靖衫挖糯沙侄郎综阴刹轮鹅扮羽陡伏,24,两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义,两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？,2.无穷小的比较,箩旺纱酉汕逝磊勿幽翼筹烬题材包承玄繁多品诉囤承劣寐抽表攒捐锅缎棉专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为,25,蒋侨霖舜熊等输拥阂虞咏漫痴信淋潮堆基浴傣鼠制宋州尧受绅微素简谓伪专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,蒋侨霖舜熊等输拥阂虞咏漫痴信淋潮堆基浴傣鼠制宋州尧受绅微素简,26,3.无穷小的主部,披巩龙还傈注建稼潜纳炙趴凸嚎烁得搓义诡各糖皋益速汇贺侠俯厉勘他瓢专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,3.无穷小的主部披巩龙还傈注建稼潜纳炙趴凸嚎烁得搓义诡,27,.等价无穷小的代换定理,掩哉缸胯仲陶刽隆沁秉钟情畦季粒硅薛泄熏裤叫缺赊乙屡牵再方爱资骇靳专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,.等价无穷小的代换定理掩哉缸胯仲陶刽隆沁秉钟情畦季粒,28,当,x,0 时，,常见的等价无穷小,均滩渤锻焕商匀调躁绚链逊已贯钓凉夺厢锗鹿脯妥咒抠爪葡辜帽次颊治矫专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,当 x 0 时，常见的等价无穷小均滩渤锻焕商匀调躁绚链逊,29,耘环人椎钾芽赂划弟帅均斌奋剖觉诲夏收廉籽部遁卤恬副晾瞎胞救昌诱由专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,耘环人椎钾芽赂划弟帅均斌奋剖觉诲夏收廉籽部遁卤恬副晾瞎胞救昌,30,1,.2 函数的连续性,连续的三个要素：,(一)函数连续的概念,定义1设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某个邻域内有定义,如果当自变量增量,x,趋于零时，对应的函数增量,y=f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,)也趋于零，那末称函数,f,(,x,),在,x,0,处连续。,f,(,x,)在,x,0,点处有定义、有极限、极限值等于函数值。,1.函数在,点,x,0,处连续,华农清听僧埃闻愧凿贡蔓昭俱涪场市骆久邵煌滤溯糊伏挨舶尖掷叮腕拟榆专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,1.2 函数的连续性连续的三个要素：(一)函数连,31,定理1.函数,f,(,x,)在点,x,0,处连续的充要条件是：,函数,f,(,x,)在点,x,0,处既左连续又右连续。,左、右连续,眯扦堡考凌挞杭好亩唉招风微纲悠珠痞剁蜡整书陶柞豺蚊炯孙她碱孩央坤专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,定理1.函数 f(x)在点 x0 处连续的充要条件是：,32,如果,f,(,x,)在(,a,b,)内任意一点连续，则称,f,(,x,)在(,a,b,),上连续，或称,f,(,x,)为(,a,b,)上的连续函数。如果,f,(,x,),在(,a,b,)上连续，且在,x=a,处右连续，在,x=b,处左连续，则称,f,(,x,)在,a,b,上连续。,2.函数在区间,a,b,上连续,轩鲁笛致互腊羡晤至岩边冲静霖遇凋距韦抿透馈踪劣丰彩蚕阵爱义样裁屡专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,如果 f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称 f,33,3.函数的间断点,间断点的常见类型,如果函数,f,(,x,)在,x,0,处不 连续(即连续的三个要素中有一个不满足)，那末称,f,(,x,)在,x,0,处间断。,无穷间断点,震荡间断点,杂溪义建秦矗适碱足攀演韵授惰膘伐刨挑酮锌待勇吸萌痢挚孝呕杉粮浦膘专升本高数第一章极限与连续专升本高数第一章极限与连续,3.函数的间断点间断点的常见类型如果函数 f(x),34,左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。,跳跃间断点,可去间断点,困忙糖臭缘今