代数学发展简史及线性代数简史

,代数学,(algebra),是数学中最重要的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为,初等代数学,和,抽象代数学,两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。,代数学的西文名称,algebra,来源于,9,世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为”,ilm al-jabr waI muqabalah”,，原意是“还原与对消的科学”。这本书传到欧洲后，简译为,algebra,。清初曾传入中国两卷无作者的代数书，被译为,阿尔热巴拉新法,后改译为,代数学,(,李善兰译，,1853),。,初等代数学是指,19,世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。,代数与算术的区别是什么？,四大文明古国中，除古代希腊外，都曾对算术和代数的发展做出非常杰出的贡献。,从中世纪的欧洲一直到,19,世纪上半期，代数学在欧洲得到了长足的发展。,19,世纪，代数学发生了革命性的变革。,一系列新的代数领域被建立起来，大大地扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的近世代数学。包括抽象代数和线性代数。,抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的,各种代数结构,的性质为其中心问题的。,由于代数结构及其中元素的一般性，近世代数学的研究在数学中是最具有基本性的，它的方法和结果渗透到那些与它相接近的各个不同的数学分支中，成为一些有着新面貌和新内容的数学领域,代数数论、代数几何、拓扑代数、李氏代数、代数拓扑、泛函分析等，这样，近世代数学就对于全部现代数学发展有着显著的影响，并且对于其它一些科学领域如理论物理、计算机原理等也有较直接的应用。,代数学发展简史,-,线性代数,线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要研究对象有行列式、线性方程组、矩阵、线性空间等。,主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著,九章算术,）。,1,、学科概述,九章算术,的“方程术”,九章算术,中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。,九章算术,把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。,1,、学科概述,在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质：,如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程是同解方程。,刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”。,其中“课”为比较的意思，而“程”则为表达的意思。可见，按照“方程”的原义可以把它理解为“方形表达式”，与现在的“增广矩阵”类似。,1,、学科概述,线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占据首要地位；,在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；,随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。,1,、学科概述,历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。,最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。,1,、学科概述,行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。,行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。,1693,年,4,月，莱布尼茨在写给洛必达的一封信中使用并给出了行列式，并给出,方程组的系数行列式为零的条件,。同时代的日本数学家关孝和在其著作,解伏题元法,中也提出了行列式的概念与算法。,2,、矩阵和行列式,1750,年，瑞士数学家克莱姆,(G.Cramer,1704-1752),在其著作,线性代数分析导引,中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。,稍后，数学家贝祖,(E.Bezout,1730-1783),将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。,2,、矩阵和行列式,在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙,(A-T.Vandermonde,1735-1796),。,范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。,1772,年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。,2,、矩阵和行列式,继范德蒙之后，法国数学家柯西在行列式理论方面做出了突出贡献。,1815,年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。,其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明。,2,、矩阵和行列式,19,世纪的半个多世纪中，詹姆士,.,西尔维斯特,(J.Sylvester,1814-1897),对行列式理论研究始终不渝。他的重要成就之一是改进了从一个,m,次和一个,n,次的多项式中消去,x,的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。,2,、矩阵和行列式,西尔维斯特（,James Joseph Sylvester,，公元,1814,年,9,月,3,日公元,1897,年,3,月,15,日）是英国数学家。生于伦敦，卒于牛津。,西尔维斯特的贡献主要在代数学方面。他同凯莱一起，发展了行列式理论，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量的理论基础，他在数论方面也做出了突出的工作，特别是在整数分拆和丢番图分析方面。他创造了许多数学名词，当代数学中常用到的术语，如不变式、判别式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生发表了几百篇论文，著有,椭圆函数专论,一书。西尔维斯特是,美国数学杂志,的创始人，为发展美国数学研究做出了贡献。曾获得英国皇家勋章、科普利奖章，以及都柏林、爱丁堡、牛津、剑桥等大学授予的名誉学位,。,2,、矩阵和行列式,继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比,(J.Jacobi,1804-1851),，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。,雅可比的著名论文,论行列式的形成和性质,标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在,19,世纪也得到了很大发展。整个,19,世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。,2,、矩阵和行列式,矩阵是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。,“矩阵”这个词是由,西尔维斯特,首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。,2,、矩阵和行列式,英国数学家,凯莱,(A.Cayley,1821-1895),一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。,凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。,1858,年，他发表了关于这一课题的第一篇论文,矩阵论的研究报告,，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了,矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆,等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。,2,、矩阵和行列式,英国数学家。英国纯粹数学的近代学派带头人。,凯莱最主要的贡献是与,J.J.,西尔维斯特一起，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对几何学的统一研究也作了重要的贡献。凯莱在劝说剑桥大学接受女学生中起了很大的作用。他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学会的会长。,2,、矩阵和行列式,凯莱（,1821,1895,）,Cayley,，,Arthur,1855,年，埃米特,(C.Hermite,1822-1901),证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施,(A.Clebsch,1831-1872),、布克海姆,(A.Buchheim),等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯,(H.Taber),引入,矩阵的迹,的概念并给出了一些有关的结论。,2,、矩阵和行列式,在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯,(G.Frobenius,1849-1917),的贡献是不可磨灭的。,他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。,1854,年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。,1892,年，梅茨勒,(H.Metzler),引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。,2,、矩阵和行列式,矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支,矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。,2,、矩阵和行列式,线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作,九章算术,方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。,在西方，线性方程组的研究是在,17,世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在,18,世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。,18,世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了,n,元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。,3,、线性方程组,19,世纪，英国数学家史密斯,(H.Smith),和道奇森,(C-L.Dodgson),继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增