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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,灿若寒星,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,初中数学课件,金戈铁骑整理制作,初中数学课件金戈铁骑整理制作,13.4,课题学习 最短路径问题,第十三章 轴对称,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,灿若寒星,13.4 课题学习 最短路径问题 第十三章 轴对称导入,学习目标,1.,能利用轴对称解决简单的最短路径问题,.,（难点）,2.,体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）,灿若寒星,学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）灿若,导入新课,复习引入,1.,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？为什么？,A,B,最短，因为两点之间，线段最短,2.,如图，点,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,P,l,A,B,C,D,PC,最短，因为垂线段最短,灿若寒星,导入新课复习引入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最,3.,在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边,.,4.,如图，如何做点,A,关于直线,l,的对称点？,A,l,A,灿若寒星,3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？,讲授新课,最短路径问题,“两点的所有连线中，,线段最短,”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，,垂线段最短,”等的问题，我们称之为最短路径问题,.,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”,.,A,B,P,l,A,B,C,D,灿若寒星,讲授新课最短路径问题 “两点的所有连线中，线段最短”“,牧马人饮马问题,如图，牧马人从点,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,C,抽象成,A,B,l,数学问题,作图问题：,在直线,l,上求作一点,C,使,AC,+,BC,最短问题,.,实际问题,A,B,l,灿若寒星,牧马人饮马问题如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮,问题,1,现在假设点,A,B,分别是直线,l,异侧,的两个点，如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,，点,B,的距离的和最短？,A,l,B,C,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求,.,连接,AB,与直线,l,相交于一点,C,.,灿若寒星,问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何,问题,2,如果点,A,B,分别是直线,l,同侧,的两个点，又应该如何解决？,想一想：,对于问题,2,，如何将点,B,“,移,”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都,保持,CB,与,CB,的长度相等,？,A,B,l,利用轴对称，作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,灿若寒星,问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如,方法揭晓,作法：,（,1,）,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（,2,）,连接,AB,，与直线,l,相交于点,C,则点,C,即为所求,A,B,l,B,C,灿若寒星,方法揭晓作法：ABlB C灿若寒星,问题,3,你能用所学的知识证明,AC+BC,最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不重合），连接,AC,，,BC,，,BC,由轴对称的性质知，,BC=BC,，,BC=BC,AC+BC,=,AC+BC=AB,，,AC+BC=AC+BC,在,ABC,中,，,AB,AC+BC,，,AC+BC,AC+BC,即,AC+BC,最短,A,B,l,B,C,C,灿若寒星,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图,造桥选址问题,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,。桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,？,B,A,A,B,N,M,灿若寒星,造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座,1.,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM+MN+BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,B,A,2.,利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,思维分析,灿若寒星,1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路,我们能否在不改变,AM+MN+BN,的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1.,把,A,平移到岸边,.,2.,把,B,平移到岸边,.,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,B,A,灿若寒星,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什,1.,把,A,平移到岸边,.,B,A,(,),AM,+,MN,+,BN,长度改变了,2.,把,B,平移到岸边,.,B,A,（,）,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,灿若寒星,1.把A平移到岸边.BA()AM+MN+BN长度改变了2,怎样调整呢？,把,A,或,B,分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢,?,B,A,灿若寒星,怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的,问题解决,B,A,A,1,M,N,如图，平移,A,到,A,1,，使,AA,1,等于河宽，连接,A,1,B,交河岸于,N,作桥,MN,，此时路径,AM,+,MN,+,BN,最短,.,理由,:,另任作桥,M,1,N,，连接,AM,，,BN,，,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,，,AM,A,N,.,AM+MN+BN,转化为,，,而,转化为,.,在,A,N,B,中,，,由线段公理知,A,1,N,1,+,BN,1,A,1,B.,因此,AM+MN+BN.,灿若寒星,问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连,A,B,M,N,E,C,D,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以,A,，,B,两地的距,离,：,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC,CD,DB,CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中,，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,，,所以桥的位置建在,MN,处,，,AB,两地的路程最短,.,灿若寒星,ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=,方法归纳,解决最短路径问题的方法,1.,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择,.,2.,当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答,.,灿若寒星,方法归纳解决最短路径问题的方法 1.在解决最短路径问题时，我,当堂练习,1.,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是,两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,P,Q,l,A,M,P,Q,l,B,M,P,Q,l,C,M,P,Q,l,D,M,D,灿若寒星,当堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上,2.,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,灿若寒星,2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别,3.,如图，荆州古城河在,CC,处直角转弯，河宽相同，从,A,处到,B,处，须经两座桥：,DD,EE,（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使,ADD E EB,的路程最短？,A,D,D,C,C,E,E,B,灿若寒星,3.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B,解：作,AF,CD,且,AF,=,河宽，作,BG,CE,，,且,BG,=,河宽，连接,GF,与河岸相交于,E,D,.,作,DD,EE,即为桥,.,理由：由作图法可知，,AF,/,DD,，,AF=DD,，,则四边形,AFD,D,为平行四边形，于是,AD,=,FD,同理，,BE,=,GE,，,由两点之间线段最短可知，,GF,最小,.,A,D,C,C,E,E,B,F,G,D,灿若寒星,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽,课堂小结,原理,线段公理和垂线段最短,牧马人饮马问题,解题方法,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题,最短路径问题,轴对称知识,+,线段公理,解题方法,灿若寒星,课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选,
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