04-05--晶体几何学基础解析

22 晶体几何学根底,晶体构造与空间点阵,晶体的晶面和晶向,其次章 X射线衍射方向,晶体几何学根底,固体物质的分类,晶体,准晶体,非晶体,晶体的定义：,晶体是由很多质点包括原子、离子或原子团在三维空间呈周期性排列而形成的固体。长程有序,对称性：晶体的宏观外形和内部微观构造都具有特定的,对称性。,均一性：晶体内部各个局部的宏观性质是一样的。,各向异性：晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。,封闭性：晶体是由多个晶面组成的有限封闭体。,自由能最小：在平衡条件下，晶体相是自由能最小的物相。,晶体的物理特点,金刚石,锗酸铋,邻苯二甲酸氢,典型的晶体形态,典型的晶体形态,空间点阵,为了反映原子排列的周期性，用几何点结点代替原子或原子团。,这些结点在三维空间的周期性排布与晶体中的原子或原子团的排布完全一样。,全部结点的几何环境和物理环境是一样的。,晶体构造空间点阵构造基元(原子或原子团),空间点阵示意图,晶体构造和空间点阵之间的关系,空间点阵是从晶体构造中抽象出来的几何图形，它反映晶体构造最根本的几何特征。将原子安放在布拉菲点阵的结点上即形成晶体构造。,(d)甲烷晶体,四种具有面心立方点阵的晶体,晶体构造,空间点阵的选取：反映晶体构造的周期性和对称性。,空间点阵,二多一少等长度轴要多，直角要多，晶胞体积要小,晶胞的选取原则,5 Bravais Lattice in 2D,P PNP,Square,a=b, =90,Rectangular,a, b,=90,Centered Rectangular,a,b,=90,Hexagonal,a=b,=120,Oblique,a,b,90,5 Bravais Lattice in 2D,晶胞：在空间点阵中，能代表空间点阵构造特点的小平,行六面体，反映晶格特征的最小几何单元。,整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。,一个晶胞的典型构造,晶胞构造,Lattice parameters:,a, b, c;,a, b, g,7,Crystal Systems,The 14 Bravais Lattices,七大晶系、14种Bravais点阵,晶系单胞特征Bravais点阵,三斜abc, 简洁三斜,abg90,单斜abc, 简洁单斜,ag 90=b底心单斜,正交abc, 简洁正交，底心正交,a=b=g=90 体心正交，面心正交,三角a=b=c, 简洁三角,a=b=g120,90, 60,四方a=bc, 简洁四方,a=b=g=90 体心四方,六角a=b, 六角,b=g=90, a=120,立方a=b=c, 简洁立方，体心立方,a=b=g=90面心立方,晶系,最低特征对称素,晶胞形状,三斜,单斜,正交,三角,四方,六角,立方,无对称素,一个二次对称轴,三个互相垂直的二次对称轴,一个三次对称轴,一个四次对称轴,一个六次对称轴,四个三次对称轴,任意的平行六面体,直立的平行六面体,矩形的平行六面体,菱形，或与六角晶系的晶胞相同,直立的柱体，底部为正方形,直立的柱体，底部为菱形,立方体,七大晶系所要求最低的对称性,Simple Cubic Lattice,Caesium Chloride (CsCl) is primitive cubic,Different atoms at corners and body center.,Also CuZn, CsBr, LiAg,Coordinate：,000,BCC Lattice,-Iron is body-centered cubic,Identical atoms at corners and body center (nothing at face centers),Also Nb, Ta, Ba, Mo.,Coordinate：,0001/2, 1/2, 1/2 ,FCC Lattice,Copper metal is face-centered cubic,Identical atoms at corners and at face centers,also Ag, Au, Al, Ni.,Coordinate：,0001/2, 1/2, 0,(0, 1/2, 1/2 (1/2, 0, 1/2 ,e.g. NaCl,Na at corners: (8,1/8) = 1 Na at face centres (6,1/2) = 3,Cl at edge centres (12, 1/4) =,3 Cl at body centre = 1,Unit cell contents are 4(Na,+,Cl,-,),晶胞与原子关系,萤石构造 CaF2 ,氯化钠构造(NaCl),晶体构造,辉钼矿的化学成分：,MoS,2,Mo 59.94%,，,S 40.06%,；,辉钼矿的特征：,铅灰色，金属光泽，硬度低，底面解理极完全，比重大，光泽强。,晶体构造,石墨的晶体构造,金刚石的晶体构造,C60的晶体构造,晶体构造,石墨,金刚石,C60,晶体构造X衍射图谱,晶面指数与晶向指数,晶向：晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位 置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向全都的直线指向。,晶面：晶体中原子所构成的平面。,晶体构造中的晶向和晶面相当于空间点阵中的结点直线和结点平面，国际上通用的是用密勒指数表示晶面及晶向。,步骤,a.建立坐标系,以某一阵点为原点O,以三个基矢为坐标轴,以晶胞边长作为坐标轴的长度单位。,b.作直线OP平行与待标志的晶向或待标定晶向的直线通过坐标原点。,c.确定通过原点直线上任一点的坐标值。,D.将坐标值化为.最小整数并加上方括号UVW,晶向指数标定方法,晶体构造中那些原子密度一样的等同晶向称为晶向轴，用表示,晶面指数的标定方法,晶面指数确定步骤：, 建立坐标系, 确定晶面在各坐标轴上的截距, 取截距的倒数，并通分，化为最小的简洁整数hkl,晶体中具有等同条件这些晶面的原子排列状况和面间距完全一样，而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用 hkl表示。,(100),(111),(200),(110),晶面族,晶面间距(d)：两个相邻的平行晶面间的垂直距离,。,对立方晶系而言：,一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大，而晶面指数数值较大的则相反。,晶面间距,晶面间距,(100),intersects with a at 1,b at,(100),c at,(200),intersects with a at 1/2,b at,(200),c at,(110),intersects with a at 1,b at 1,(110),c at,立方晶系中点阵常数与晶面的关系,晶面间距(,d),公式：,立方晶系：,四方晶系：,正交晶系：,晶面间距,晶面夹角的计算公式,立方晶系,正方晶系,全部相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。,设晶带轴的指数为UVW，则晶带中任何一个晶面的指数hkl都必需满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以UVW为晶带轴的晶带，两个非平行的晶面指数为h1k1l1和h2k2l2则其交线即为晶带轴的指数。,晶 带,属于001晶带的某些晶面,晶 带,倒易点阵 P.136,1倒易点阵概念,倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家布拉未所承受，1921年爱瓦尔德进展了这种晶体学表达方法。,正点阵：与晶体构造相关，描述晶体中物质的分布规律，是物质空间或正空间。,倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射强度的分布，是倒空间。,晶体的空间点阵是描述原子或原子团在三维空间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体构造抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实的物质，是具体的客观存在。,倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观存在。但是倒易空间点阵在描述X射线和电子衍射方面具有诸多便利。由于从倒易阵点与反射球面的相对几何关系就能推断在方向是否有衍射束消逝。,倒易点阵,倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵构造与其电子或X射线衍射斑点很好联系起来。,我们观测到的衍射把戏实际上是满足衍射条件的倒易点阵的投影。,倒易点阵已成为解释物质衍射现象、提示晶体构造、以及理论争论中不行缺少的手段和工具,倒易点阵,倒易点阵的定义,假设给定一个基矢为a,b,c的正点阵，则必定有一个倒易点阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为a*,b*,c*，两者之间的关系为：,分别将上式点乘a，b，c得到：,aa*= bb*= cc*=1,ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0,d,ab,a,b,c,c,*,c*a, c*b;,c* =(a, b构成的平行四边形的面积/晶胞体积,1 /dab,001*,(001),倒易点阵的定义,倒易点阵与正点阵,依据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点(hkl)的矢量称倒易矢量ghkl,g*hkl =,可以得出:,1.g*矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数,g*hkl =1/dhkl,2.其方向与晶面相垂直,g* /N(晶面法线),3. 倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面,1,晶面间距, *=,例：立方系,a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90,倒易点阵的作法,首先求基矢，然后利用基矢绘图。,由a,b,c,求a*,b*,c*,*,*,*进而求倒易点阵.,同样可求 得b*,c*。,同样可求 得,*,*。,正空间七大晶系在倒易空间它的晶系照旧不变。,正空间全部的矢量运算-埸论，在倒易空间均能用。,对于一种正点阵，其倒易点阵是唯一的，与基矢的选取无关,.,正、倒点阵在晶体几何中的关系,正、倒点阵在晶体几何中的关系,1正点阵中的一个方向uvw垂直与倒易点阵中的一个同名晶面uvw*,即uvw uvw*。,倒易点阵中的一个方向hkl*垂直于正点阵中的同名晶面(hkl). hkl* (hkl) 证明,2正点阵中，晶面hkl的面间距dhkl是其同名倒易矢量长度ghkl的倒数，即dhkl=1/ghkl; 证明,倒易点阵中，晶面uvw*的面间距duvw*是正点阵中同名矢量长度ruvw的倒数，即duvw*1/ruvw。,倒易点阵在晶体学中的应用,1,晶面间距公式, *=,例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90,1/dHKL2=H2+K2+L2a2,二个面的夹角就是由二个面法线的夹角来表示，而在这里就,是二个面对应的倒易矢量之间夹角。,H1K1L1,H2K2L2,倒易点阵在晶体学中的应用,由此式可求出夹角,例 立方系,课堂习题,1. 试求出立方晶系111晶带的倒易点阵平面。,解： 利用晶带定律：HU+KV+LW=0,，用摸索法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。,代入晶带定律检证,，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。,根椐点阵特征周期性，绘出晶带其它的倒易点。,课堂习题,倒易点阵的性质总结,1正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系： aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0 2倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为h,k,l,阵点的矢量ghkl倒易矢量为：,ghkl=ha*+kb*+lb*,3倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数,ghkl=1/dhkl,4对于正交点阵，有：,a/a*, b/b*, c/c* a*=1/a , b*=1/b , c*=1/c,5在立方点阵中，晶面法线方向和同指数的的晶,向是重合(平行)的。即倒易矢量ghkl是与相应,指数的晶向hkl平行的。,倒易点阵的性质总结,(hkl)晶面可用一个矢量或矢量端点来表示，明显，这种将二维平面用一维矢量或零维点来表示的方法，使晶体几何关系简洁化。,一个晶带的全部面的矢量点位于同一平面，具有上述特性的点、矢量、面分别称为倒易点，倒易矢量、倒易面。由于它们与晶体空间相应的量有倒易关系。,倒易点阵与衍射点阵关系,晶带与倒易面,正、倒点阵之间晶带之间的倒易关系,正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应，或者倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带。,由于晶带轴uvw与晶带面(hkl)的倒易矢之间存在uvw hkl*关系，所以：,两个晶面h1k1l1, h2k2l2,即可利用晶带轴定律，求出晶带轴。,h1 k1 l1 h1 k1 l1,u:v:w=,h2 k2 l2 h2 k2 l2,例1 0 2面与3 4 2面的晶带轴计算。,晶带与倒易面,正空间,倒空间,晶带正空间,与倒空间对,应关系图,晶带与倒易面,将全部hkl晶面相对应的倒易点都画出来,就构成了倒易点阵,过O*点的面称为0层倒易面,上、下和面依次称为1，2层倒易面。,晶体点阵和倒易点阵实际是互为倒易的。 r=ua+vb+wc rg=hu+kv+lw=N,晶带与倒易面,与 的关系示意图,晶带与倒易面,晶带定律,rg =0，狭义晶带定律，倒易矢量与r垂直，它们构成过倒易点阵原点的倒易平面,rgN，广义晶带定律,倒易矢量与r不垂直。这时g的端点落在第非零层倒易结点平面。,晶带与倒易面,