数系的扩充及复数的引入

单击此处编辑母版标题样式,*,品质来自专业,信赖源于诚信,金太阳教育网,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.1.1数系的扩充与复数的概念,数系的扩充与复数的概念,从社会生活来看，数的概念是从实践中产生和发展起来的，人类早在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力。,开始时用手指计数，当手指不敷运用时，用小石子检查放牧归来的羊的只数，出现了,石子记数；,用结绳的方法统计猎物的个数，称为,结绳记数；,用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量为,刻痕记数,等等。,数系的扩充,历史回眸,为了记数的需要产生了自然数；,为了测量产生了分数；,为了刻画相反意义的数产生了负数；,为了解决度量正方形对角线长的问题出现了,无理数,从数学内部来看，数集是在按某种“规则”,不断扩充的。在自然数集中，方程x+4=0无解，要使x+4=0有解，从而引入_.自然数集扩充到整数集；,在整数集中，方程3x-2=0无解，要使3x-2=0有解，为此引入_.整数集扩充到有理数集；,在有理数集中，方程x,2,-2=0无解，要使x,2,-2=0有解，为此引入_，有理数集扩充到实数集。,问题1,：以上数系扩充的过程是,_.,负数,分数,无理数,N,Z,Q,R,问题2：,在实数集中，方程x,2,+1=0无解.,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,引入一个新数：,满足,我们这样引入一个新数,i,，把,i,叫做虚数单位，并且规定：,（1）,引入新数，完善数系,（3）,实数与,i,进行四则运算时,，,原有的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。,（2）实数可以与,i,进行四则运算：,如：实数a与数,i,相加记为：a+,i,i,实数b与数,i,相乘记为：,bi,实数a与实数b和,i,相乘的结果相加记为：a+b,i,复数有关概念,1、,定义:形如,a+bi（aR，bR）,的数叫,复数,其中,i,叫,虚数单位,。,注意:,复数通常用字母,z,表示，,即复数,a+bi（aR，bR),可记作:,z=a+bi,（aR，bR），,这一表示形式叫做,复数的代数形式,。,复数,Z=a+bi(,aR，bR),把实数,a，b,叫做复数的,实部,和,虚部,。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作：,C,。,说出下列复数的实部和虚部,练一练,复数的分类,讨论,观察复数的代数形式,实部,虚部,其中,称为虚数单位。,当a=_且b=_时，则z=0,当b=_时，则z为实数,当b_时，则z为虚数,当a=_且b_ 时，则z为纯虚数,0,0,0,0,0,0,复数的分类,2、复数a+bi,思考？,3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,例,1,实数,m,取什么值时，复数,是（,1,）实数（,2,）虚数（,3,）纯虚数？,（2）,当 ，即 时，复数,z,是虚数,（3）,当,即 时，复数,z,是纯虚数,区别实数虚数的准则：判断实部或虚部是否为0,解,:,（1）,当 ，即 时，复数,z,是实数,练一练：,1.说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,0,2、判断下列命题是否正确：,（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数,（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数,（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数,一般对两个复数只能说相等或不相等；,不能比较大小。,复数的相等,a+bi=c+di,a=c且b=d,注意,例2 已知 ，,其中 ,求,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：,转化思想,解：根据复数相等的条件知，,解得,练习,m=0,x=4,y=-2,x+y=2x+3y,y-1=2y+1,是纯虚数，,求实数 的值。,2、,如果,求实数 的值。,1.虚数单位,i,的引入,课堂小结,实数,虚数,复数,纯虚数,非纯虚数,4,.,复数相等,2.复数的代数形式,5.数学思想方法：转化思想,3,.分类,随着人类文明的进步，数系实现了,自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集,的扩充，那么随着生产生活实践的客观需求，数系还能进一步扩充吗？,有待同学们去探索去发现！,再见,作业布置,练习A组:1、2、3,练习B组：,1、2,思考题：已知方程(1+i)x,2,-2(a+i)x+5-3i=0有,实数解,a为实数，求a的值.,关于无理数的发现,古希腊的,毕达哥拉斯学派,认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.,有一天,这个学派中的一个成员,希伯斯,突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.,希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.,思考题：已知方程(1+i)x,2,-2(a+i)x+5-3i=0有,实数解,a为实数，求a的值.,解：设方程的实数解为x,0,代入方程化简得,