概率论多维随机变量课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,一、条件分布的概念,3.2 条件分布与,随机变量的独立性,本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的,条件概率分布的概念.,例如，考察某大学的全体学生,分别以,X,和,Y,表示,其体重和身高，则X和Y都是随机变量，具有一定的,概率分布。,现在若限制,(米)，在这个条件,下去求,X,的条件分布，这就意味着要从该校的学生中,把身高在 1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来,然后在,挑出的学生中求其体重的分布.可见，这个分布与不加,条件时的分布是不相同的。,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性一、条件,1,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,一般地，,设,是一个随机变量，,其分布函数为,若另外有一事件,已经发生，,并且,的发生可能会对,事件,发生的概率产生影响，,则对任一给定的实数,记,并称,为在,发生的条件下，,的,条件分布,函数,.,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性一般地，,2,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,例1,设,服从0,1上的均匀分布,求在已知,的条件下,的条件分布函数,.,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性例1设服,3,1、,离散型随机变量的条件分布,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,设（,X,Y,）是二维离散型随机变量，其分布律为：,（,X,Y,）关于,X,和,Y,的边缘分布律分别为：,1、离散型随机变量的条件分布概率论与数理统计3.2 条件分,4,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,不难验证以上两式均满足分布律的基本性质,设 ，由条件概率公式可得,上式称为在 条件下随机变量,X,的,条件分布律,同样地，若,上式称为在 条件下随机变量,Y,的,条件分布律,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性不难验证,5,把两封信随机地投入已经编好号的,3,个邮筒内,设,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设概率论与数理统计,6,2、,连续型随机变量的条件密度,设(,X,Y,)的密度函数为 和 分,别是关于,X,和,Y,的边缘密度函数，,若 则,称为在 条件下,X,的分布函数，记为,故在 条件下,X,的条件密度函数，记为,类似的，可定义,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,2、连续型随机变量的条件密度设(X,Y)的密度函数为,7,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性,8,二、随机变量的独立性,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,定义1 设 (,X,Y,)为,二维随机向量，对于任意的,实数,x,y,，有,则称随机变量,X,Y,相互独立,注：,X,Y,相互独立等价于,二、随机变量的独立性概率论与数理统计3.2 条件分布及随机,9,例,设二维随机变量(,X,Y,)的分布函数为,判断,X,与,Y,是否独立？,例 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为判断X与Y是,10,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,定理1,随机变量,与,相互独立的充要条件是,的生成的任何事件与,生成的任何事件独立,对任意实数集,有,即,定理2,如果随机变量,与,相互独立，,则对任意,函数,均有,相互,独立.,概率论与数理统计3.2 条件分布及随机变量的独立性定理1随,11,1、,离散型随机变量的独立性,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,定义2,若离散型随机变量 的可能取值为,并且对任意的 和 ,事件,与,相互独立,即,则 与 相互独立.,1、离散型随机变量的独立性概率论与数理统计3.2 条件分布,12,例1,设二维随机变量 的联合分布律为:,1 2 3,1,2,且 与 相互独立,试求 和,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,例1 设二维随机变量 的联合分布律为:,13,1,例2,设随机变量 与 相互独立,下表列出了二维,填入表中的空白处.,的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值,随机变量 联合分布律及关于 和关于,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,例2 设随机变量,14,2、,连续型随机变量的独立性,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,定义3,设二维连续型随机变量 的联合概,则 和 相互独立.,关于 和 的边缘概率密度分,率密度为,如果对任意实数 和,和,别为,有,注：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去,面积为0的集合外，处处成立.,2、连续型随机变量的独立性概率论与数理统计3.2 条件分布,15,例3,若(,X,Y,) 的联合概率密度为,问,X,与,Y,是否相互独立?,1,1,3-1例题3-1例3.ppt,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,例3 若(X,Y) 的联合概率密度为问X与Y是,16,例4,设,服从单位圆上的均匀分布,概率密度为,求,概率论与数理统计,3.2,条件分布及随机变量的独立性,例5,设,(1),求,和,(2),证明,与,相互独立的充要条件是,例4设服从单位圆上的均匀分布,概率密度为求概率论与数理统计,17,