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,-,#,-,4,平摆线和渐开线,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,平摆线和渐开线,一,二,一、平摆线,1,.,平摆线,(,旋轮线,),一个圆在平面上沿着一条,直线,无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线,(,或旋轮线,),如图,.,2,.,平摆线,(,旋轮线,),的参数方程,半径为,r,的圆在,x,轴上滚动,起点为原点,O,它的平摆线的参数,方程,为,一,二,3,.,平摆线的性质,当圆滚动半周时,过定点,M,的半径转过的角度是,点,M,到达最高点,(,r,2,r,),再滚动半周,点,M,到达,(2,r,0),这时圆周和,x,轴又相切于点,M,得到平摆线的一拱,.,圆滚动一周时,平摆线出现一个周期,.,平摆线上点的纵坐标最大值是,2,r,最小值是,0,即平摆线的拱高为,2,r,.,一,二,名师点拨,1,.,摆线的特征,圆的摆线每一拱的宽度等于圆的周长,拱高等于圆的直径,(,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫作一个拱,),.,2,.,圆的平摆线的参数方程中参数的几何意义,根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的字母,r,是指圆的半径,参数,是过圆周上点,M,的半径与过圆与,x,轴切点的半径的夹角,.,参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程,.,当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况,.,一,二,答案：,C,一,二,二、渐开线,1,.,渐开线、基圆,把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持,相切,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的,渐开线,此圆称为渐开线的,基圆,如图所示,.,一,二,2,.,渐开线的参数方程,半径,为,r,的圆的渐开线的参数方程是,名师点拨,1,.,圆的渐开线的特征,(1),圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹,.,(2),发生线沿基圆滚过的长度,等于基圆上被滚过的圆弧长度,.,(3),基圆大小不等的渐开线形状不同,一般基圆越大,它的渐开线越趋平直,.,(4),基圆以内无渐开线,.,一,二,2,.,圆的渐开线的参数方程中参数的几何意义,根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母,r,是指基圆的半径,而参数,是指绳子外端运动时,半径,OB,相对于,Ox,转过的角度,如图所示,其中的,AOB,即是角,.,显然点,P,由参数,唯一确定,.,在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单,.,一,二,做一做,2,半径为,1,的圆的渐开线的参数方程为,(,),答案：,C,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),只有圆才有渐开线,.,(,),(2),渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才能得到不同的图形,.,(,),(3),对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,那么画出的渐开线形状就不同,.,(,),(4),在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,那么可能会得到不同的参数方程,.,(,),探究一,探究二,探究三,思维,辨析,求平摆线的参数方程,【例,1,】,已知一个圆的平摆线过一定点,(2,0),请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程,.,分析：,根据圆的平摆线的参数,方程,(,-,0,即得,cos,=,1,所以,=,2,k,(,k,Z,),.,代入,x=r,(,-,sin,),得,x=r,(2,k,-,sin,2,k,),.,又因为,x=,2,所以,r,(2,k,-,sin,2,k,),=,2,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,反思领悟,1,.,圆的平摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹,.,2,.,在圆的平摆线中,圆周上定点,M,的位置也可以由圆心角唯一确定,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,变式训练,1,已知一,个圆的平摆线过一定点,(1,0),请写出该摆线的参数方程,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,求渐开线的参数方程,【例,2,】,有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为,32 mm,求齿廓线的渐开线的参数方程,.,解：,因为基圆的直径为,32,mm,所以基圆的半径为,16,mm,因此齿廓线的渐开线的参数方程为,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,反思领悟,解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程,将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系,.,用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤,:,(1),建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为,M,(,x,y,);,(2),取定运动中产生的某一角度为参数,;,(3),用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式,;,(4),用向量运算得到,M,(,x,y,),的坐标表达式,由此得到轨迹曲线的参数方程,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,变式训练,2,已知圆的直径为,2,其渐开线上两点,A,B,对应的标准形式的参数方程中的参数分别,是,求,A,B,两点的坐标,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,平摆线、渐开线参数方程的应用,【例,3,】导学号,64470043,设圆的半径为,8,沿,x,轴正向滚动,开始时圆与,x,轴相切于原点,O,记圆上动点为,M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时,M,点的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上点的纵坐标,y,的最大值,说明该曲线的对称轴,.,分析：,本题考查摆线的参数方程的求法及应用,.,解答本题需要先,分析题意,弄清,M,点的轨迹的形状,然后借助图像求得最值,.,解：,根据题意,得轨迹曲线的参数方程,为,当,t=,即,x=,8,时,y,有最大值,16,.,曲线的对称轴,为,直线,x=,8,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,反思领悟,摆线的参数方程是三角函数的形式,可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,变式训练,3,设,摆线,(,t,为参数,0,t,2,),与直线,y=,1,相交于,A,B,两点,求,A,B,两点间的距离,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因不理解平摆线的定义而致误,典例,圆的半径为,r,沿,x,轴正向滚动,圆与,x,轴相切于原点,O.,圆上点,M,起始处沿顺时针已偏转,角,.,试求点,M,的轨迹方程,.,错解,以原点为圆心,互相垂直的两条直径分别为,x,轴和,y,轴,建立直角坐标系,设,M,(,x,y,),则有,x=r,cos,y=r,sin,所以,x,2,+y,2,=r,2,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,1,.,渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹,.,圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹,.,2,.,渐开线上任一点,M,的坐标由圆心角,(,以弧度为单位,),唯一确定,而在圆的摆线中,圆周上定点,M,的位置也可以由圆心角,唯一确定,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,如果半径为,3,的圆的平摆线上某点对应的参数,=,那么该点的坐标为,.,1 2 3 4,1,.,平,摆线,(,0,t,2,),与直线,y=,2,的交点的直角坐标是,(,),A.(,-,2,2),B,.(3,+,2,2),C.(,-,2,2),或,(3,+,2,2)D.(,-,3,5),答案：,C,1 2 3 4,1 2 3 4,3,.,已知半径为,3,的圆的平摆线上某点的纵坐标为,0,则其横坐标为,.,解析：,r=,3,平摆线的参数方程,为,(,为参数,),.,令,y=,0,得,cos,=,1,.,=,2,k,(,k,Z,),sin,=,0,.,x=,3,-,3sin,=,6,k,(,k,Z,),.,答案：,6,k,(,k,Z,),1 2 3 4,4,.,已知圆的方程为,x,2,+y,2,=,4,点,P,为其渐开线上一点,对应的参数,=,则点,P,的坐标为,.,答案：,(,2,),dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiu,dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8gen,56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,56384866666gjfdghmghm,￥,1111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333344444,￥,
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