第1讲n阶行列式的定义与性质

,教学目的,:,线性代数,是工科数学教学四门主要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位，在其他课程、科学研究和工程技术中有广泛的应用。,因此，工科学生必须具备有关线性代数的基础理论知识以及解决实际问题的能力， 从而为学习后续课程和进一步扩大数学知识打下必要的数学基础。,教学内容与时间分配,:,1-,行列式,(4,学时,),2-,矩阵及其应用,(4,学时,),3-,矩阵的初等变换及线性方程组,(6,学时,),4-,向量组的线性相关性,(6,学时,),5-,相似矩阵及二次型,(8,学时,),四多：概念多,定理多,符号多,运算规律多,内容相互纵横交错，知识前后紧密联系。,课程特点：,要求：,课堂认真听讲，作业独立完成。,第一,讲,n,阶行列式的定义,与性质,1.1,二阶、三阶行列式，全排列及其逆序数,1.2,n,阶行列式的定义,1.3,行列式的性质（,1,）,第一节,二、三阶行列式,全排列及其逆序数,一、二阶行列式与三阶行列式,注：,该定义称之为对角线法则。,1.,全排列：,把,n,个不同的元素排成一列，叫做这,n,个元素的全排列（简称排列）。,二、全排列与逆序数,2.,逆序：,对于,n,个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如,n,个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这,n,个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。,3.,逆序数：,一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。,4.,奇排列与偶排列：,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。,5.,计算排列逆序数的方法：,不妨设,n,个元素为,1,至,n,这,n,个自然数，并规定由小到大为标准次序。设,p,1,p,2,p,n,为这,n,个自然数的一个排列，考虑元素,p,i,(,i,=1,2,n),，如果比,p,i,大的且排在,p,i,前面的元素有,i,个，就说,p,i,这个元素的逆序数是,i,，,即：,(,p,1,p,2,p,n,),= ,1,+ ,2,+ ,n,就是这个排列的逆序数。,例,1,求排列,13(2,n,1)24(2,n,),的逆序数。,解：,在该排列中，,1,(2,n,1),中每个奇数的逆序数全为,0,，,2,的逆序数为,(,n,1),，,4,的逆序数为,(,n,2),，,(2,n,2),的逆境序数为,1,，,2,n,的逆序数为,0,，于是该排列的逆序数为,例,2,在,1,9,构成的排列中,求,j,、,k,，,使排列,1 2 7 4,j,5 6,k,9,为偶排列,解：,由题可知，,j,、,k,的取值范围为,3,，,8,当,j =,3,、,k =,8,时，经计算可知，排列,127435689,的逆序数为,5,，即为奇排列,当,j=,8,、,k =,3,时，经计算可知，排列,127485639,的逆序数为,10,，即为偶排列,j =,8,，,k =,3,例,3,设排列,p,1,p,2,p,3,p,n,的逆,序数为,k,，,求,p,n,p,3,p,2,p,1,的,逆序数,（,p,1,p,2,p,3,p,n,是,1,n,的某一排列）,解：,排列,p,1,p,2,p,3,p,n,与排列,p,n,p,3,p,2,p,1,的逆序数之和等于,1,n,这,n,个数中任取两个数的组合数即,：,第二节,n,阶行列式的定义,设有,n,2,个数，排成,n,行,n,列的数表,作出表中位于不同行不同列的,n,个元素的乘积，并冠以符号,(-1),，,得形如,的项，其中,p,1,p,2,p,n,为,自然数,1,、,2,、,、,n,的一个,一、定义,排列，,为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有,n,!,个，因而形如,(1),式的项共有,n,!,项。所有这,n,!,项的代数和,其中,p,1,p,2,p,n,是,1,n,的任一排列，,是排列,p,1,p,2,p,n,的逆,序数，即,= ,(,p,1,p,2,p,n,),。,二、几个特殊的行列式,1.,在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。,三、对换与排列奇偶性的关系,定理,1:,对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。,证明：,该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。,由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。,再证一般情况，设：,把,(1),作,n+,1,次相邻对换得,(2),，把,(2),再作,n,次相邻对换可得,(3),，即共作了,2,n+,1,次相邻对换由,(1),而得到,(3),。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由,(1),到,(3),排列的奇偶性就改变了,2,n+,1,次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。,定理,2,：,n,元排列共有,n,!,个，其中奇、偶排列的个数相等，各有,n,!/2,个。,定理,3,：,任意一个,n,元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。,四、行列式的等价定义,五、关于等价定义的说明,这就表明，对换乘积项中两元素的位置，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。,定理,4,例,5,写出四阶行列式中含有因子 的项。,例,6,若,为四阶行列式的项，试确定,i,与,k,，,使前两项带正号，后一项带负号。,第三节,行列式的性质,(1),在利用行列式性质,(1),进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。,