高等数学及其应用电子教案(第二版)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷小与无穷大,无穷小与无穷大,1,本节要点,本节讨论论在极限理论中起着重要作用的两类变量,无穷小和无穷大.,一、无穷小的概念和性质,二、无穷小的比较,三、无穷大,本节要点 本节讨论论在极限理论中起着重要作用的,2,一、无穷小的概念和性质,定义1.5 在自变量 的某个变化过程中,若函数,的极限为零,那么 叫作该变化过程中的,无穷小,.,注 变量 是否为无穷小既与变量的表达式有关,也,与自变量的变化过程有关.,例如变量,是 时的无穷小.而,时的无穷小.,是,一、无穷小的概念和性质 定义1.5 在自变量,3,注 无穷小是以零为极限的变量,不能把它等同于一个,很小的量.,注 无穷小是以零为极限的变量,不能把它等同于一个很小,4,定理1.1,在自变量的某一变化过程中,函数 有极限,的充分必要条件是,其中 是无,穷小.,证,设,令,则,即 是 的同一变化过程中的无穷小.,反之,若,其中,则,定理1.1 在自变量的某一变化过程中,函数,5,即 的极限为,即 的极限为,6,定理1.2 有限个无穷小之和是无穷小;,无穷小的运算性质,证 由极限的运算法则容易得到和,今证.,设,有界函数与无穷小之积是无穷小.,有限个无穷小之积是无穷小;,考虑当 时的情况.,在 的某个空心邻域中有界,即存在,使得在该邻域中总有,定理1.2 有限个无穷小之和是无穷小;无穷小,7,由于在该邻域中总有,再设,又,由夹逼定理得,即,此说明,是 时的无穷小.,由于在该邻域中总有 再设又由夹逼定理得即此说明是,8,例1.28 求极限,解 因 ，故由定理1得,下图是函数的图形,从图中可以看出,当,时,对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0.,例1.28 求极限解 因,9,高等数学及其应用电子教案(第二版)课件,10,例1.29 求极限,解 因,又:,所以:,有界量与无穷小乘积,例1.29 求极限解 因又:所以:有界量与无穷小,11,二、无穷小的比较,我们知道,若 是两个数,则比较两数的大小的方,法是计算 若设 是无穷小,因 仍然是,即上面的方法没有什么意义.那么是否说明无穷小之间,无穷小,即,不存在“大小”关系呢？通过下面的图示,我们来观察当,时函数 的变化趋势.,二、无穷小的比较 我们知道,若 是,12,三条曲线的比较,三条曲线的比较,13,在上图中可以看到:当 时,几乎以相同,观察,我们发现 则以比 更快的速度趋,的速度趋于 ,而 则以较快的速度趋于 进一步地,于,在上图中可以看到:当 时,14,高等数学及其应用电子教案(第二版)课件,15,从中我们可以看出,在无穷小之间也存在一个“大小”,我们考察极限,关系.而这个关系不能用它们的差值来刻画,我们考虑,是否能用它们的商来刻画,即通过比值来确定,并且这,个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述.具,体地说,若变量 是自变量在某个变化过程,中的无穷小,即,为此,我们引入:,从中我们可以看出,在无穷小之间也存在一个“大小”,16,定义1.6 设,是自变量 在某个变化过程中,若,则称,是 的高阶无穷小,若,若,的两个无穷,小,记作,则称,是,的同阶无穷小;,则称,是,的等价无穷小,记,定义1.6 设,17,作,作,18,例1.30 证明当 时，为 的等价无,证明 因,即 为 的等价无穷小.,穷小.,例1.30 证明当 时，,19,熟记这些常用的等价无穷小是有益的.,当,时,常见的一些等价无穷小:,熟记这些常用的等价无穷小是有益的.当,20,定理1.3 设,证,此定理又称为等价无穷小的,替换准则,.,为无穷小,且,又,存在,则,定理1.3 设证 此定理又称为等价无穷小,21,例1.31 求极限,解 当 时,所以,例1.31 求极限解 当,22,例1.32 求,解 当,时,又,所以,所以,例1.32 求解 当,23,例1.33 求,解 令,注意到由,所以,等价无穷小替换,例1.33 求解 令注意到由所以 等价无穷小替换,24,上例表明:当,时,特殊的,当 时,有,上例表明:当时,特殊的,当,25,值得注意的是:等价无穷小替换只能用于乘除法,而,但如用等价无穷小替换,则会导出,这一错误的结论.,不能用于加减法.例如极限:,值得注意的是:等价无穷小替换只能用于乘除法,26,三、无穷大,若在 的某个变化过程中,变量 的绝对值,无限增大,则称 是该变化过程中的,无穷大,记为,例如 是 时的无穷大,即,而 是 时的无穷大,即,三、无穷大 若在 的某个变化过程中,变量,27,若 大于零而绝对值无限增大,则称 为,正无,穷大,;若 小于零而绝对值无限增大,则称 为,负无穷大,分别记为,和,例如,而,函数图形见下图:,若 大于零而绝对值无限增大,则,28,高等数学及其应用电子教案(第二版)课件,29,高等数学及其应用电子教案(第二版)课件,30,无穷小与无穷大的关系,在自变量同一过程中,若,是无穷小,且 则 是无穷大.,若,是无穷大,则 是无穷小;,无穷小与无穷大的关系 在自变量同一过程中,若,31,例1.34 求极限,解 考虑极限:,容易得到该极限为,由此得,例1.34 求极限解 考虑极限:容易得到,32,联系前面关于有理函数在无穷远点的极限关系,我们有,联系前面关于有理函数在无穷远点的极限关系,我们有,33,与水平渐近线求法相似的有:,若,或,则直线 是,函数 的图形的,铅直渐近线,.,垂直渐近线,与水平渐近线求法相似的有:若或 则直线,34,高等数学及其应用电子教案(第二版)课件,35,