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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,三角函数,1.1.1,任意角和弧度制,1.2,弧度制,三角函数1.1.1任意角和弧度制1.2弧度制,教学目标,了解角的另外一种度量方法,弧度制,1,能进行弧度与角度的互化,2,掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式,3,教学目标了解角的另外一种度量方法弧度制1能进行弧度与角度,教学重难点,弧度制概念以及弧度与角度的互化,重点,弧度制中扇形的弧长和面积公式的应用,难点,教学重难点弧度制概念以及弧度与角度的互化重点弧度制中扇形的弧,基础梳理,基础梳理,1,、度量角的两种制度,（,1,）角度制,定义：用度作为单位来度量角的单位制。,1,度的角：周角的 作为一个单位。,（,2,）弧度制,定义：用弧度作为单位来度量角的单位制。,1,弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。,1、度量角的两种制度（1）角度制（2）弧度制,2,、弧度数的计算,2、弧度数的计算,2,、角度制与弧度制的换算,2、角度制与弧度制的换算,知识点拨,知识点拨,1,、有关,“,角度,”,与,“,弧度,”,概念的理解,区 别,（,1,）定义不同。,（,2,）单位不同。弧度制是以,“,弧度,”,为单位，单,位可以省略，而角度制是以,“,度,”,为单位，单位不,能省略。,（,3,）弧度制是十进制，而角度制是六十进制。,1、有关“角度”与“弧度”概念的理解区 别（1）定义不同,1,、有关,“,角度,”,与,“,弧度,”,概念的理解,联 系,（,1,）不管以,“,弧度,”,还是以,“,度,”,为单位的角的大,小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径,与所含的弧这两者的比值有关。,（,2,）,“,弧度,”,与,“,角度,”,之间可以互相转化。,1、有关“角度”与“弧度”概念的理解联 系（1）不管以“弧,2,、解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式,在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：,期中 为圆心角的弧度数，,R,为扇形的半径。,要把握好上述公式，需注意以下三个方面：,（,1,）由上述公式可知，由 ，,R,S,中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二。,（,2,）应用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是 为弧度制。,2、解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式在弧度制下，弧长公式,（,3,）在应用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：,（3）在应用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：,要点探究归纳,要点探究归纳,类型一：有关,“,角度,”,与,“,弧度,”,概念的理解,【典例,1,】,（1）下列说法不正确的是（）,A.,“,度,”,与,“,弧度,”,是角的两种不同的度量单位,B.,1,度的角是周角的 ，,1,弧度的角是周角的,C.,根据弧度的定义，一定等于 弧度,D.,不论是用角度制还是用弧度制度两角，它们与,圆的半径长短有关,类型一：有关“角度”与“弧度”概念的理解【典例1】,类型一：象限角的判定,【典例,1,】,（1）解析：选,D,。根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧,度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所,以,D,是假命题，选项,A,B,C,均为真命题。,类型一：象限角的判定【典例1】,类型一：有关,“,角度,”,与,“,弧度,”,概念的理解,【典例,1,】,（,2,）在半径不等的两个圆内，,1,弧度的圆心角（）,A.,所对弧长相等,B.,所对弦长相等,C.,所对弦长等于各自半径,D.,所对弧长等于各自半径,类型一：有关“角度”与“弧度”概念的理解【典例1】,类型一：象限角的判定,【典例,1,】,（,2,）解析：选,D,。,1,弧度的圆心角是指长度等于 半径长的弧所对的圆,心角，所以,D,正确。,类型一：象限角的判定【典例1】,类型一：象限角的判定,【,思考,】,解决第（,1,）题的关键点是什么？,提示：,关键是把握好角度与弧度的定义，明确两者的区别和练习。,类型一：象限角的判定【思考】,类型一：象限角的判定,【,规律方法,】解决,“,角度,”,与,“,弧度,”,概念问题的关注点,（,1,）引入弧度制后，角的集合与实数集建立了 一对一对应关系。,（,2,）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同；用角度制,和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同。,（,3,）,“,角度,”,与,“,弧度,”,可以按照,“”,这一等量关系进行相互转化。,（,4,）角度的单位,“,。,”,不可以省略，而弧度的单位,“rad”,可省略。,（,5,）在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用。,类型一：象限角的判定【规律方法】解决“角度”与“弧度”概念问,类型一：象限角的判定,【,变式训练,】,下列各命题中，真命题是（）,A.1,弧度就是 的圆心角所对的弧,B.1,弧度是长度等于半径的弧,C.1,弧度是 的弧与 的角之和,D.1,弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,类型一：象限角的判定【变式训练】,类型一：象限角的判定,【,解析,】,选,D,。根据弧度制和角度制的规定可知,A,B,C,均错误，,D,正确。,类型一：象限角的判定【解析】,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用,【,典例,2,】,（,1,）把下列弧度化为度。,=_;,=_.,（,2,）把下列角度化为弧度。,（,3,）把下列各角化成 的形式，并指出是第几象限角。,-4,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【典例2】,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用,【,典例,2,】,解析：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,第一象限角 第三象限角 第二象限角,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【典例2】,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用,【,变式训练,】,用弧度制表示终边落在 轴上方的角的集合为,_.,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【变式训练】,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用,【,解析,】,若角 的终边落在 轴上方，则,【,答案,】,类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【解析】,类型一：象限角的判定,【,规律方法,】,角度制与弧度制互化的策略以及注意点,（,1,）原则：牢记 ，充分利用 和 进行换算。,（,2,）方法：设一个角的弧度数为 ，角度数为 ，则 ；,（,3,）注意点,用,“,弧度,”,为单位度量角时，,“,弧度,”,二字或,“rad”,可以省略不写。,用,“,弧度,”,为单位度量角时，常常把弧度数写成多少,的形式；,度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度,类型一：象限角的判定【规律方法】角度制与弧度制互化的策略以及,类型三：与弧长、扇形面积有关的问题,【,典例,3,】,（,1,）半径为,2,，圆心角为 的圆弧的长度为,_.,（,2,）在半径为,6,的圆中，长度为,6,的弦和它所对的劣弧围成的弓形的面,积为,_.,（,3,）已知扇形的周长为,10cm,，面积为,4cm,2,，求扇形圆心角的弧度数。,类型三：与弧长、扇形面积有关的问题【典例3】,类型三：确定 角所在的象限,【,解析,】,（,1,）因为半径,r=2,，圆心角 ，所以弧长,（,2,）如图所示，因为,AB=6,OA=OB=6,所以 。,所以扇形,AOB,的面积 。又因为,AOB,是等边三角形，所以 。所以所求弓形,的面积 。,类型三：确定 角所在的象限【解析】,类型三：确定 角所在的象限,【,解析,】,（,3,）设扇形圆心角的弧度数为 ，弧长为 ，半径为,R,，依,题意有,消去 得,R,2,-5R+4=0,，解之得,R,1,=1,R,2,=4.,当,R=1,时，此时，舍去。,当,R=4,时，此时，,类型三：确定 角所在的象限【解析】,类型三：确定 角所在的象限,【,互动探究,】,在第,（,3,）题中，若扇形的周长,10cm,改为,40cm,，当它的半径和圆心角取,什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？,类型三：确定 角所在的象限【互动探究】,类型三：确定 角所在的象限,【,解析,】,设扇形的圆心角为 ，半径为,R,，弧长为 ，面积为,S,，则,所以 ，所以,所以当半径,R=10cm,时，扇形的面积最大。这个最大值为,100cm,2,，这时,类型三：确定 角所在的象限【解析】,类型三：确定 角所在的象限,【,规律方法,】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及注意点,（,1,）解题策略,明确弧度制下弧长公式 ，扇形的面积公式是,（其中 是扇形的弧长，是扇形的圆心角）。,涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已,知哪些量求哪些量，然后灵活应用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列,方程（组）求解。,类型三：确定 角所在的象限【规律方法】弧度制下有关弧长,类型三：确定 角所在的象限,【,规律方法,】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及注意点,（,2,）注意点,在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负。,看清角的度量制，选用相应的公式。,扇形的周长等于弧长加两个半径长。,类型三：确定 角所在的象限【规律方法】弧度制下有关弧长,知能达标演练,知能达标演练,1.,时钟经过,1,小时，时针转过了（）,A.B.C.D.,【解析】选,B,。顺时针方向旋转形成的角为负角 ，故,选,B,。,1.时钟经过1小时，时针转过了（）【解析】选B。顺,2.,集合 所表示的角的范围（用阴影表示）,是（）,2.集合,【解析】选,C,。当 时，角 终边所在,的位置与 范围内的角的终边相同，当 时 ，,，即 ，角 终边所在位,置与 范围内的角的终边相同，故选,C,。,【解析】选C。当 时，,3.,圆的半径变为原来的,2,倍，弧长也增加到原来的,2,倍，则（）,A.,扇形的面积不变,B.,扇形的圆心角不变,C.,扇形的面积增大到原来的,2,倍,D.,扇形的圆心角增大到原来的,2,倍,3.圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则（,【解析】选,B,。根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长与,半径的比，故选,B,。,【解析】选B。根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长与,4.,圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角,的弧度数为,_.,【解析】设圆的半径为,R,，则圆的内接正三角形的边长为 ，所以弧长等,于 的圆心角的弧度数,【答案】：,4.圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对,5.,求半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长及面积。,【解析】因为,所以,5.求半径为 ，圆心角为 的扇形的弧,谢谢大家,谢谢大家,
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