平面向量的分解及向量的坐标表示

,高考总复习数学,(,文科,),高考总复习数学,(,文科,),第二节平面向量的分解及向量的坐标表示,第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入,考 纲 要 求,1,了解平面向量的基本定理及其意义,2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,课 前 自 修,知识梳理,一、平面向量基本定理,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，满足,a,1,e,1,2,e,2,，其中不共线的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，称,1,e,1,2,e,2,为,e,1,，,e,2,的线性组合,二、平面向量的坐标表示,在直角坐标系中，分别取与,x,轴，,y,轴方向相同的两个单位向量,i,，,j,作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量,a,可表示成,a,xi,yj,，由于,a,与数对(,x,，,y,)是一一对应的，因此把(,x,，,y,)叫做向量,a,的坐标，记作,a,(,x,，,y,)，其中,x,叫作,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫做,a,在,y,轴上的坐标,规定：,(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；,(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系,三、平面向量的坐标运算,1若,a,(,x,1,，,y,1,)，,b,(,x,2,，,y,2,)，则,a,b,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),2若,A,(,x,1,，,y,1,)，,B,(,x,2,，,y,2,)，则,(,x,2,x,1,，,y,2,y,1,).,3若,a,(,x,，,y,)，则,a,(,x,，,y,),四、向量的运算,向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若,a,(,x,1,，,y,1,)，,b,(,x,2,，,y,2,).,运算,类型,几何方法,坐标方法,运算性质,向量的,加法,1.平行四边形法则,2三角形法则,a,b,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),a,b,b,a,，,(,a,b,),c,a,(,b,c,)，,向量的,减法,三角形法则,a,b,(,x,1,x,2,，,y,1,y,2,),a,b,a,(,b,)，,数乘向,量法,a,是一个向量满足：,0时，,a,与,a,同向；,0时，,a,与,a,异向；,0时，,a,0,a,(,x,，,y,),(,a,)(,),a,，,(,),a,a,a,，,(,a,b,),a,b,，,a,b,a,b,(,b,0),基础自测,A(2，4)B(2,4),C(6,10)D(6，10),3,(2012深圳市松岗中学模拟),已知向量,a,(2,3)，,b,(,x,，6)共线，则,x,_.,解析：,依题意有3,x,2,(6)0，得,x,4.,答案：,4,4,(2011漳州市模拟),已知向量,a,(1，)，,b,(2,0)，则|,a,b,|_.,解析：,a,b,(1，)，,|,a,b,|2.,答案：,2,考 点 探 究,考点一,平面向量基本定理的应用,变式探究,考点二,平面向量坐标的基本运算,变式探究,A(2,7)B(6,21)C(2，7)D(6，21),考点三,利用向量相等求点的坐标,【例3】,已知点,A,(1,0)，,B,(0,2)，,C,(1，2)，求以,A,，,B,，,C,为顶点的平行四边形的第四个顶点,D,的坐标,变式探究,3设向量,a,(1，3)，,b,(2,4)，若表示向量4,a,3,b,2,a,，,c,的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量,c,(),A(4,6)B(4，6),C(4，6)D(4,6),考点四,共线向量的坐标运算,【例4】平面内给定三个向量,a,(3，2)，,b,(1，2)，,c,(4，1)，请解答下列问题：,(1)求满足,a,mb,nc,的实数,m,，,n,；,(2)若(,a,kc,)(2,b,a,)，求实数,k,；,(3)若,d,满足(,d,c,)(,a,b,)，且,|,d,c,|,，求,d,.,点评：,运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机地结合,变式探究,4,(2012北京市东城区示范校综合练习),已知向量,a,(2,3)，,b,(1,2)，若,ma,nb,与,a,2,b,共线，则 等于(),A2 B2 C D.,课时升华,1平面内任一向量,a,都可以分解成,a,1,e,1,2,e,2,(其中,e,1,，,e,2,是平面内两个不共线向量)的形式，且分解式是唯一的,平面向量基本定理是平面向量正交分解的理论依据,若向量,a,与两个不共线向量,e,1,，,e,2,共面,存在唯一一对实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算,3向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关,4向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用,“,数,”,来证明,“,形,”,的问题因此解题过程中应注意运用数形结合的思想方法.,感 悟 高 考,品味高考,高考预测,1设向量,a,(1，sin,)，,b,(3sin,，1)，且,a,b,，则cos 2,等于 (),A B,C.D.,2已知,a,(1,2)，,b,(2，,m,)，若,a,b,，则|2,a,3,b,|等于 (),A.B4,C3 D2,D,B,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,