证明不等式的基本方法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,证明不等式的基本方法课件,一,.,比较法,:,一.比较法:,比商法,常用有幂式比大小,练习,1.,已知,a,b,是正数,求证,当且仅当,时,等号成立,.,练习,.,比较,与,的大小,.,）,.,书,P25,页,2,（,2,）,书,P23,页,4,比商法,常用有幂式比大小练习1.已知a,b是正数,求证,一,.,比较法,证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：,比差法：要证,ab,，只须证,a-b0,。,比商法：要证,ab,且,b0,，只须证,1,说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；,证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。,一.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法,二,.,分析法,:,二.分析法:,证明不等式的基本方法课件,三,.,综合法,:,三.综合法:,例,2.,如果用,a,kg,白糖制出,b,kg,糖溶液,则糖的质量分数为,a/b.,若在上述溶液中再添加,mkg,白糖,此时糖的质量分数增加到,(a+m)/(b+m).,将这个试试抽象为数学问题,并给出证明,.,证一：看书,P22,页,证二：分析法,例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为a/,练习：书,P25,页：,2,（,1,）,a,b,c0,求证：（,ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c,2,)16abc,练习：书P25页：,三,.,综合法：,利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。在用基本不等式证明时要注意,一正二定三相等,的条件。,三.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式,1,。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数,2,。等号当且仅当,a=b=c,时成立,3,。,一正二定三相等,1。调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数2。等号当,当且仅当 时取等号,当且仅当 时取等,a,b,同号右,左,边取“,=”,，,a,b,异号左,右,边取“,=”,当且仅当,a,1,a,2,a,n,0,或,a,1,a,2,a,n,0,取,“,=,”,a,b同号右左边取“=”，a,b异号左右边取“=”当且仅当a,假,设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出,矛盾,，因此说明,假设错误,从而证明,原命题成立,这样的证明方法叫,反证法,.(,正难则反,),四,.,反证法,:,例、,已知 ，求证：,中,至少有一个不小于,。,假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因,如、,求证,:,五,.,构造函数法：,构造函数用函数,单调性,，,构造图形用数形结合,方法。,如、求证:五.构造函数法：构造函数用函数单调性，构造图形用数,六,.,放缩法：,欲证,AB,，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得,BB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个,解：（,1,）比差法或用数学归纳法证。,先求和再放缩,解：（1）比差法或用数学归纳法证。先求和再放缩,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,七,.,导数法：,移项，让一边为,0,，把其中一个字母作为变量，其它当常数，通过求导求出最小值与,0,比较即可证。,n=1,相等；,n,大于等于,2,，当,x0,增，,0 x-2,导数小于,0,，为减，所以最小,f(0),八。数学归纳法：,格式问题呵,七.导数法：移项，让一边为0，把其中一个字母作为变量，其它当,九,.,换元法：,换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。,用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略,.,主要是三角换元和均值换元。,例,7(1),设,三角换元,九.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的,（,2,）,设 ，且 ，,求证：；,（2）设 ，且,如、,已知 ，,求证：都属于,10,。“,”,法。,如、已知,变式,：设 且,求证：,变式：设,如：,（,1,）正数,x,y,满足,x+2y=1,则,改为,x+2y=5,又如何？,（,2,）,11,。逆代法,如：11。逆代法,例,9,已知,i,，,m,，,n,是正整数，且,1,i,m,n,(I),证明,n,i,A,i,m,m,i,A,i,n,；,(2,),证明,(1+,m,),n,(1+,n,),m,先放缩再求和,例9已知i，m，n是正整数，且1imn先放缩再求和,1,。（,1,）提示：比差,（,2,）先证 ，即得左边不等式,即可得右边不等式,1。（1）提示：比差即可得右边不等式,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,证明不等式的基本方法课件,