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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节,线性方程组解的结构,1,在有解的情况下，,回顾：,其中,为增广矩阵。,当线性方程组有无穷多解的情况下，希望用,有限,个解表示出来。,2,一、齐次线性方程组解的结构,由解的判别定理知，(*)只有零解当且仅当,(*)有零解(即无穷多解)当且仅当,3,齐次线性方程组解的性质:,证明,（1）若 为 的解，则,也是 的解.,（2）若 为 的解，为实数，则,也是 的解.,证明,均是 的解,则它们的,综上所述,若,线性组合,也是 的解.,4,定义,齐次线性方程组,的一组解向量,如果满足：,(1)线性无关；,(2)的任一解向量均可被,线性表示，,则称,为,的一个,基础解系,。,若 只有零解，则基础解系不存在。,基础解系即为全体解向量组的极大无关组。,定理,证略,下面举例说明基础解系的求法。,5,求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。,例1,解,6,自由未知量取为,7,基础解系:,8,例2,解,求下面齐次线性方程组的一个基础解系：,9,自由未知量取为,10,自由未知量取为,基础解系:,11,二、非齐次线性方程组解的结构,称,为,的,导出组,。,12,非齐次线性方程组解的性质:,证明,（1）若 为 的解，则,是 的解.,证明,（2）若 为 的解，,为 的解，,则,是 的解.,13,定理,如果,是 的一个特解，那么,的任一解,可表为,其中 是导出组,的解.,因此，当 取遍导出组的全部解时，就给出,的全部解。,证明,由上述性质可知，,为导出组 的解，,记为,则,当 取遍导出组的全部解时，就给出,的,全部解。,14,设非齐次线性方程组,当 取遍导出组的全部解时，就给出,的,全部解。,全部解的求法：,满足,则有无穷多解,导出组,(1)求出导出组 的基础解系,(2)求出原方程组 的一个特解,则,的全部解为,其中,为任意常数.,15,例3,解,求方程组,的全部解.,所以有无穷多解。,16,导出组的基础解系：,特解：,所以全部解为,任意。,17,例4,方程组的增广矩阵为,导出组的基础解系：,18,特解：,所以全部解为,任意。,19,例5,解,方程组,(1),为何值时,无解？有唯一解？有无穷多解？,(2),无穷多解时，求出全部解,(,用向量表示,),。,无解;,20,有无穷多解,全部解为,k,为任意常数,.,21,例6,解,k,为任意常数,.,22,练习：,P141,习题三,23,
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