等数学隐函数求导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,隐函数和参数方程求导,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(注意,y,=,y,(,x,),(含导数 的方程),（隐函数的显化）,例1.,求由方程,在,x,=0,处的导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0 时,y,=0,故,确定的隐函数,例2.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,的一阶导数,确定的隐函数,求由方程,练习：,二阶导数,解:,方程两边对,x,求导，,得,隐函数求高阶导数,法1:,由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导,数的显式继续求导.,法2:,反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.,例3,解,练习,设,由方程,确定,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,对数求导法,，可用来求,幂指函数,和,多个因子连乘积,函数、开方,及其它适用于对数化简的函数的求导,对数求导法,例4.,求,的导数.,解:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,1)对幂指函数,可用对数,说明:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意:,求导法求导:,求,的导数.,解:,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对,x,求导,又如,对,x,求导,两边取对数,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:,消参困难或无法消参如何求导?,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成,x,是,y,的函数),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,例5,解,例6,解,所求切线方程为,?,例7.,设,且,求,已知,解:,练习:,解:,注意:,对谁求导?,求,例8.,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,1.,设,由方程,确定,解:,方程两边对,x,求导,得,且 存在，求,思考与练习,解,解得,作业,P82 1(2)(3);2;4(2)(4);,5(1)(2);6(2);8,第五节,求其反函数的导数.,解,:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,思考题,1.,设,求,解,：,方程组两边同时对,t,求导,得,2,.,设,3.,设,求,提示:,分别用对数求导法求,答案:,练 习 题,一、,填空题：,1,、,设,0,1,5,5,2,2,2,3,=,+,-,+,-,y,xy,y,x,x,确定了,y,是,x,的函,数，则,),1,1,(,dx,dy,=_,.,2,、,曲线,7,3,3,=,-,+,xy,y,x,在点,（,1,，,2,）处的切线方程,是,_.,3,、,曲线,=,=,t,t,y,t,t,x,sin,cos,在,2,p,=,t,处的法线方程,_.,4,、,已知,=,=,t,e,y,t,e,x,t,t,sin,cos,则,dx,dy,=_,；,3,p,=,t,dx,dy,=_.,5,、,设,y,x,e,xy,+,=,则,dx,dy,=_.,二、,求下列方程所确定的隐函数,y,的二阶导数,2,2,dx,y,d,：,1,、,；,2,、,；,3,、,y,x,x,y,=,),0,0,(,y,x,，,.,三、,用对数求导法则求下列函数的导数：,1,、,2,x,x,y,=,；,2,、,5,4,),1,(,),3,(,2,+,-,+,=,x,x,x,y,；,3,、,x,e,x,x,y,-,=,1,sin,.,四、,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数,2,2,dx,y,d,：,1,、,=,=,t,b,y,t,a,x,sin,cos,；,2,、,-,=,=,),(,),(,),(,t,f,t,f,t,y,t,f,x,设,),(,t,f,存在且不为零,.,五、,求由参数方程,-,=,+,=,t,t,y,t,x,arctan,),1,ln(,2,所确定的函数的,二阶导数,2,2,dx,y,d,.,六、设,),(,x,f,满足,x,x,f,x,f,3,),1,(,2,),(,=,+,，求,),(,x,f,.,练习题答案,一、,1,、,3,4,；,2,、,0,23,11,=,-,+,y,x,3,、,0,2,2,=,+,-,p,p,y,x,；,4,、,3,2,sin,cos,cos,sin,-,-,-,+,t,t,t,t,；,5,、,y,x,y,x,e,x,y,e,+,+,-,-,.,二、,1,、,；,2,、,-,),(,cot,),(,csc,2,3,2,y,x,y,x,+,+,；,3,、,3,2,2,),1,(ln,),1,(ln,),1,(ln,+,+,-,+,y,xy,x,x,y,y,.,三、,1,、,),1,ln,2,(,1,2,+,+,x,x,x,；,2,、,1,5,3,4,),2,(,2,1,),1,(,),3,(,2,5,4,+,-,-,-,+,+,-,+,x,x,x,x,x,x,；,3,、,),1,(,2,cot,1,1,sin,2,1,x,x,x,e,e,x,x,e,x,x,-,-,+,-,.,四、,1,、,t,a,b,3,2,sin,；,2,、,),(,1,t,f,.,五、,2,4,1,t,t,+,.,六、,2,1,2,x,+,.,