第3章：动量与角动量课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章：动量与角动量,第3章：动量与角动量课件,3.1,冲量与动量定理,牛顿定律写成：,令：,动量定理：,在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。,3.1 冲量与动量定理,分量形式,:,分量形式:,动量定理常应用于碰撞问题,则 越大。例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大。,一定时， 越小，,动量定理常应用于碰撞问题则 越大。例如人从高处跳下,初始速度： ，,，则,推开后速度：,，且方向相反，则,推开前后系统动量不变：,内力不改变质点系的动量,初始速度： ，则推开,质点系,质点系动量定理：,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。,因为内力 ，故,质点系 质点系动量定理：作用于系统的合外力的冲,例,1,一质量为,0.05kg,、速率为,10m,s,-1,的刚球，以与钢板法线呈,45,角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为,0.05s,。求此时间内钢板所受到的平均冲力 。,解：,建立如图坐标系，由动量定理,方向沿 轴反向,例 1 一质量为0.05kg、速率为10ms-1的刚球,例,2,：,一柔软链条长为,l,，单位长度的质量为,。链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动,链条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距离之间的关系。,设链与各处的摩擦均略去不计，且认为链条软得可以自由伸开。,解：,以竖直悬挂的链条和,桌面上的链条为一系统，,建立如图坐标，则：,由质点系动量定理得：,m,1,m,2,O,y,y,例 2：一柔软链条长为 l，单位长度的质量为 。链条放在桌,则,两边同乘以 则：,m,1,m,2,O,y,y,又,则两边同乘以 则： m1m2Oyy又,3.2,动量守恒定理,质点系动量定理：,动量守恒定律,若质点系所受的,合外力为零：,则系统的总动量,守恒：,1),系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的，各物体的动量必相对于同一惯性参考系。,3.2 动量守恒定理,2),守恒条件：,合外力为零,当,时，可 略去外力的作用，近似地认为系统动量守恒。例如在碰撞、打击、爆炸等。,3),若,某一,方向,合外力为零，则,此,方向动量,守恒,。,4),动量守恒定律只在,惯性参考系,中成立，是自然界最普遍，最基本的定律之一。,2) 守恒条件：合外力为零,例,1,一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向互相垂直，电子动量为,1.2,10,-22,kgms,-1,，中微子动量为,6.4,10,-23,kgms,-1,。,问新原子核的动量,的值和方向如何,?,解：,即,恒矢量,例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子成,又因为,代入数据计算得：,系统动量守恒,即,又因为代入数据计算得：系统动量守恒 , 即,3.3,火箭飞行原理,某时刻,t,火箭总质量为,M,，速度为,v,，此时火箭的动量为,Mv,。,再经过,dt,时间，火箭喷出质量,dm,气体，喷出的速率为,u,。,在,t+dt,时刻，火箭的速率增加为,v+dv,。此时系统的总动量为：,由于喷出气体质量,dm,等于火箭质量的减少,-,dm,，所以上式可写为：,3.3 火箭飞行原理,展开上式，略去二阶小量,dM,dv,，可得：,设,火箭的初始质量为,M,i,，初速度为,v,i,，燃料燃尽时质量为,M,f,，达到的速度为,v,f,，对上式积分有：,由此得：,即：,展开上式，略去二阶小量 dMdv，可得：即：,以,F,表示在,t,到,t+dt,内喷出的气体对火箭体,(,M-dm,),的推力，根据动量定理，有：,将,udM,+,Mdv,=0,代入上式，可得：,此式表明，火箭的推力与燃料燃烧速率,dm,/,dt,以及喷气的相对速率,u,成正比。,如，燃烧速率为,1.3810,4,kg/s,，喷气相对速率为,2.9410,3,m/s,，则理论推力：,4.0610,7,N,。,以 F 表示在 t 到 t+dt 内喷出的气体对火箭,例,1:,一枚返回式火箭以,2.5,10,3,m,s,-1,的速率相对地面沿水平方向飞行。不计空气阻力。现控制系统使火箭分离为两部分，前方部分是质量为,100kg,的仪器舱，后方部分是质量为,200kg,的火箭容器。若仪器舱相对火箭容器的水平速率为,1.0,10,3,m,s,-1,。求 仪器舱和火箭容器相对地面的速度。,例1: 一枚返回式火箭以 2.5 103,已知,求,:,解,:,则,:,已知 求: ,解: 则:,3.4,质心,讨论一个质点系运动时，常常引入,质量中心,的概念。设有,N,个质点,m,1,m,2 , m,i , m,N,，它们的位置分别为,r,1,r,2 , r,i , r,N,。,则质量中心位置为：,3.4 质心,对于连续体：,对于连续体：,3.5,质心运动定理,质心的动量,p,c,质点系的总动量：,3.5 质心运动定理质心的动量 pc质点系的总动量：,式中,a,c,是,质心加速度,，所以，一个质点系质心运动与外力的关系为：,质心运动定理,:,式中 ac 是质心加速度，所以，一个质点系质心运动与,角 动 量,3.6,点的角动量与角动量定理,质点对于惯性参照系中某点的角动量定义为：,式中,r,是,质点相对于固定点的矢径。,角 动 量3.6 点的角动量与角动量定理,角 动 量,由于,第,2,项为,0,，,所以得到：,力矩,：,角动量定理：,质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间的微分。,角 动 量 由于第 2 项为 0，所以得到：,3.7,角动量守恒定律,角动量定理：,角动量守恒定律和动量守恒定律一样，也是自然界的一条基本规律，并且在更广泛的情况下它也不依赖于牛顿定律。,3.7 角动量守恒定律,例：,证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。,解：,做匀速直线运动的物体位于,1,点对参考点,O,的角动量为：,位于,2,点对参考点,O,的角动量为：,很容易算出，两者大小相等，方向相同，且：,1,2,例：证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，,3.8,质点系的角动量定理,定义：,质点系的角动量：,对于系内任一质,点，角动量定理给出：,对于系内所有质点，对上式求和：,质点系所受合外力矩,各质点所受内外力矩矢量和,3.8 质点系的角动量定理质点系所受合外力矩各质点所受内外力,角 动 量,对于,i,和,j,两质点，它们相互作用力矩之和：,所以：,说明一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率。,注意：,力矩和角动量都相对惯性系的同一参考点。,合外力矩为,0,时，质点系的角动量守恒。这就是,质点系的角动量守恒定律,。,角 动 量对于i 和 j 两质点，它们相互作用力矩之和：所以,O,C,3.9,质心参考系中的角动量,质点系相对,O,的角动量：,OC3.9 质心参考系中的角动量,质心对,O,的角动量,质点系对惯性系,点,O,的角动量,等于质心对该点的角动量,(,轨道角动量,),加上质点系对质心的角动量。,0,质心对O的角动量0,对时间求导：,对定点,O,，质点系受到的合力矩：,由角动量定理得：,对时间求导：,由质心运动定理得：,这就是用,质心系表示的角动量定理,。它说明：质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系中该质点系对质心角动量的变化率。,由质心运动定理得：,