刚体运动学和定轴转动

,第二章,刚体和流体力学,谁滚得快些？,一,、,刚体的平动和转动,平动,：用质心运动讨论,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,刚体,:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.,各质点间的,相对位置永不发生变化,的,质点系,。,2.1 刚体运动学,转动,：对,点,、对,轴,定轴转动,：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,转轴,O,t,时刻,t+,t,时刻,对定点O,刚体的一般运动,既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动,o,.,转动平面,转轴,参考方向,各质元的线速度、加速度一般不同，,但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,二、定轴转动的角量描述,角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,加速转动,方向一致,减速转动,方向相反,比较,：,一、刚体的转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2-2 刚体的定轴转动,刚体对给定轴的转动惯量(,moment of inertia,),对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成,其中,r,是质量元到转轴的距离。,二、转动惯量,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量,与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,*刚体的质量,*质量的分布,*转轴的位置,与转动惯量有关的因素：,对于离散型分布的刚体，其转动惯量为,M,r,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中,、,分别为质量的线密度、面密度和体密度。,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,1、求质量为m、,半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：细圆环,R,又解:,J,是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2 求质量为,m,、,半径为,R,、,厚为,l,的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为,r,宽为,dr,的薄圆环,可见，转动惯量与,l,无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是,mR,2,/2。,3.求一质量为m的均匀实心球对其一条直径 为轴的 转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离 球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Y,X,Z,O,R,r,dZ,Z,Y,X,Z,O,R,r,dZ,Z,4、求长为,L,、,质量为,m,的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,A,B,L,X,A,B,L/2,L/2,C,X,解：取如图坐标,dm=,dx,平行轴定理,前例中,J,C,表示相对通过质心的轴的转动惯量，,J,A,表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距,L/2,。,可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为,d,，,刚体对其转动惯量为,J,，,则有：,JJ,C,md,2,。,这个结论称为,平行轴定理,。,M,C,A,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、,球半径为R）,转动平面,作用在刚体上的轴的力矩,三、转动定律,将切向分量式两边同乘以,变换得,转动定律,刚体定轴转动的转动定律,刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。,m,反映质点的,平动惯性,J,反映刚体的,转动惯性,.,与,地位相当,是把质点力学的规律应用到组成刚体的 质点系。,质点质点系刚体,研究对象：刚体理想模型,运动模式：刚体绕定轴的转动,研究方法：,小结：,平动、转动的类比：,重点提示,：要注意,M,I,是对于同一根轴的力矩、转动惯量和角速度。,转动定律应用举例,解题步骤:,1.认刚体;2.定转轴,找运动;,3.分析力和力矩;4.定转向,列方程。,特别注意:,1.明确转动轴位置。,2.选定转动的正方向,注意力矩、角速度、角加速 度的正负。,3.同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。,二类问题,:,第一类:由角量运动,求力矩。(微分法),第二类:由力矩及初始条件,求刚体运动。(积分法),例1,一个质量为,M,、半径为,R,的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为,m,的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体,m,由静止下落高度,h,时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,一般方法,：对有质点和刚体参加的系统，应用隔离体方法。对质点：受力分析，应用牛顿第二定律；对刚体：进行受力矩分析，应用转动定律,并由角量与线量关系,列出几何补充方程.,mg,解：,例2,、一个飞轮的质量为69kg，,半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？,F,0,解：,飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,0,N,f,r,已知：,M,0,M,1,=a,J,|,t=0,=0,求：,（t）=？,解：,1）以刚体为研究对象；,2）分析受力矩,3）建立轴的正方向；,4）列方程：,M,+,M,0,M,1,J,例3,一静止刚体受到一等于 （N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩 ，,的大小与刚体转动的角速度成正比,即,(Nm),(,为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。,M,+,M,0,M,1,=a,解：,4）列方程：,分离变量：,例4、一根长为,l,、,质量为,m,的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆,角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对,O,的力矩。棒上取质元,dm,当棒处在下摆,角时,，,该质量元的重力对轴的元力矩为,O,gdm,dm,重力对整个棒的合力矩为,O,gdm,dm,代入转动定律，可得,四、力矩的功,式中,力矩做功是力做功的角量表达式.,力矩的瞬时功率,五、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,六、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律,刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.,刚体的重力势能,是组成它的各个质元的重力势能之和.,若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他,非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.,机械能守恒定律,例5 设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：,当杆过铅直位置,时的角速度。,已知,：m，L,求,：,，,1）以杆为研究对象,受力：,mg，N（不产生,对轴的力矩）,建立OXYZ坐标系,Z,N,mg,Y,X,O,L,解(一),建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）,Z,mg,Y,X,O,N,L,故取正值。,沿Z轴正向，,2）,=？,两边积分：,Z,mg,Y,X,O,N,2）,=？,Z,mg,Y,X,O,N,解(二)：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，角速度从 0-,依动能定理,Z,mg,Y,X,O,N,当杆过铅直位置,时的角速度：,Z,mg,Y,X,O,N,解(三):由机械能守恒定律求,因为在转动过程中，N不做功，重力是保守力，所以由地球与物体组成的系统的机械能守恒。,即：,所得结果与前面相同。,