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单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/8/20,#,2.4 线段的,垂直平分线,2024/11/18,1,2.4 线段的2023/9/221,如图,，,人字形屋顶的框架中，点,A,与点,A,关于线段,CD,所在的直线,l,对称,，问,线段,CD,所在的直线,l,与线段,AA,有什么关系,？,新知探究,2024/11/18,2,如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A关于线段CD所,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图,.,已知点,A,与点,A,关于直线,l,对称，如果沿直线,l,折叠，则点,A,与点,A,重合，,AD,=,A,D,，,1=2= 90,，即直线,l,既平分线段,AA,，又垂直线段,AA,.,l,A,A,D,2,1,(,A,),2024/11/18,3,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.,我们把垂直且平分一条线段的直线叫,作,这条线段的,垂直平分线,.,由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴,.,新知归纳,2024/11/18,4,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分,如图，在线段,AB,的垂直平分线,l,上任取一点,P,，连接,PA,，,PB,，线段,PA,，,PB,之间有什么关系,？,新知探究,2024/11/18,5,如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接P,作关于直线,l,的轴反射,（,即沿直线,l,对折,）,，由于,l,是线段,AB,的垂直平分线，因此点,A,与点,B,重合,.,从而线段,PA,与线段,PB,重合，于是,PA,=,PB,.,(,A,),(,B,),B,A,P,l,2024/11/18,6,作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,.,由此得出线段垂直平分线的性质定理：,新知归纳,2024/11/18,7,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点,P,到线段,AB,两端的距离,PA,与,PB,相等，那么点,P,在线段,AB,的垂直平分线上吗,？,疑问升级,（,1,）,当点,P,在线段,AB,上时，,因为,PA,=,PB,，,所以点,P,为线段,AB,的中点，,显然此时点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,.,2024/11/18,8,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反,（,2,）,当点,P,在线段,AB,外时，如下图所示,.,因为,PA,=,PB,，,所以,PAB,是等腰三角形,.,过顶点,P,作,PC,AB,，垂足为点,C,，,从而底边,AB,上的高,PC,也是底边,AB,上的中线,.,即,PC,AB,，且,AC,=,BC,.,因此直线,PC,是线段,AB,的垂直平分线，,此时点,P,也在线段,AB,的垂直平分线上,.,2024/11/18,9,（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.因为PA=PB，所以,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,.,由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,新知归纳,2024/11/18,10,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到,例,已知：如图，在,ABC,中，,AB,，,BC,的垂直平,分线相交于点,O,，连接,OA,，,OB,，,OC,.,求证：点,O,在,AC,的垂直平分线上,.,证明,点,O,在线段,AB,的垂直平分线上，,OA,=,OB,.,同理,OB,=,OC,.,OA,=,OC,.,点,O,在,AC,的垂直平分线上,.,例题讲解,2024/11/18,11,例 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平证明 ,1.,如图，在,ABC,中，,AB,的垂直平分线分别交,AB,，,BC,于点,D,，,E,，,B,=30,，,BAC,= 80,，,求,CAE,的度数,.,答：,CAE,=,50,.,随堂练习,2024/11/18,12,1. 如图，在ABC中，AB的垂直平分线分别交答：CAE,随堂练习,2.,已知：如图，点,C,，,D,是线段,AB,外的两点，且,AC,=,BC,，,AD,=,BD,，,AB,与,CD,相交于点,O,.,求证：,AO,=,BO,.,证明：,AC,=,BC,，,AD,=,BD,，,点,C,和点,D,在线段,AB,的垂直平分线上，,CD,为线段,AB,的垂直平分线,.,又,AB,与,CD,相交于点,O,AO,=,BO,.,2024/11/18,13,随堂练习2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且证明：,如图，已知线段,AB,，作线段,AB,的垂直平分线,.,根据,“,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,”,，要作线段,AB,的垂直平分线，关键是找出到线段,AB,两端距离相等的两点,.,新知探究,2024/11/18,14,如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到,因为线段,AB,的垂直平分线,CD,与线段,AB,的交点就是线段,AB,的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点,.,2024/11/18,15,因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段,如何过一点,P,作已知直线,l,的垂线呢,？,由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线,.,新知探究,2024/11/18,16,如何过一点P作已知直线l的垂线呢？ 由于两点确定一条直,用尺规完成下列作图,（,只保留作图痕迹，不要求写出作法,）.,1.,如图，在直线,l,上求作一点,P,，使,PA,=,PB.,随堂练习,2024/11/18,17,用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）,随堂练习,2.,如图，作出,ABC,的,BC,边上的高,.,2024/11/18,18,随堂练习2. 如图，作出ABC的BC边上的高.2023/9,如图，在,ABC,中，,BC,=8cm,，,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,，交边,AC,于点,E,，,BCE,的周长等于,18cm,，则,AC,的长等于（ ）,.,A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm,例,DE,是,AB,的垂直平分线，,AE,=,BE,(,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,).,又,在,BCE,中，,BE,+,CE,+,BC,=18cm,，,BC,=8cm,，,BE,+,CE,=10cm.,AC,=,AE,+,CE,=,BE,+,CE,=10cm.,故应选择,C.,C,例题讲解,解析：,2024/11/18,19,如图，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直,
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