多元函数微分基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、区域,1.,邻域,点集,称为点,P,0,的,邻域,.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,P,0,的,去心邻域,记为,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2.,区域,(1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,=,若对点,P,的,任一,邻域,U,(,P,)既含,E,中的内点也含,E,则称,P,为,E,的,内点,；,则称,P,为,E,的,外点,;,则称,P,为,E,的,边界点,.,的外点,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,(2),聚点,若对任意给定的,点,P,的去心,邻域,内总有,E,中的点,则,称,P,是,E,的,聚点,.,聚点可以属于,E,也可以不属于,E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为,E,的,导集,.,E,的边界点),D,(3),开区域及闭区域,若点集,E,的点都是,内点,，则称,E,为,开集,；,若点集,E,E,则称,E,为,闭集,；,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连,开区域连同它的边界一起称为,闭区域,.,则称,D,是,连通的;,连通的开集称为,开区域,简称,区域;,。,E,的边界点的全体称为,E,的,边界,记作,E,;,例如，,在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域;,对区域,D,若存在正数,K,使一切点,P,D,与某定点,A,的距离,AP,K,则称,D,为,有界域,界域,.,否则称为,无,它不是区域，因为它不是连通的开集,*3.,n,维空间,n,元有序数组,的全体所构成的集合记作,即,中的每一个元素用单个粗体字母,x,表示,即,定义:,线性运算,其元素称为,点,或,n,维向量.,x,i,称为,x,的,第,i,个坐标,或,第,i,个分量,.,称为,n,维空间,的,距离,定义为,中点,a,的,邻域,为,与零元,0,的距离为,记作,则称,x,显然,趋于,a,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1.,设非空点集,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,特别地,当,n,=2 时,有二元函数,当,n,=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在,D,上的,n,元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面,.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义2.,设,n,元函数,点,则称,A,为函数,(也称为,n,重极限),当,n,=2 时,记,二元函数的极限可写作：,P,0,是,D,的聚,若存在常数,A,对一,记作,都有,对任意正数,总存在正数,切,例1.,设,求证:,证:,故,总有,要证,例,2.,设,求证：,证：,故,总有,要证,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:,设,P,(,x,y,)沿直线,y,=,k x,趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k,值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例3.,讨论函数,函数,例4.,求,解:,因,而,此函数定义域,不包括,x,y,轴,则,故,方法2,见到此类问题，用极坐标替换法，也可以得前面的结论：令,仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.,注.,二重极限,不同,.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由,例3,知它在(0,0)点二重极限不存在.,例3,四、,多元函数的连续性,定义3,.,设,n,元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果存在,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,n,元函数,连续,.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:,一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理,：,若,f,(,P,)在有界闭域,D,上连续,则,*,(4),f,(,P,)必在,D,上一致连续.,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),闭域,上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),解:,原式,例,5,.,求,例6.,求函数,的连续域.,解:,内容小结,1.区域,邻域,:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,备用题,1.,设,求,解法1,令,1.,设,求,解法2,令,即,2.,是否存在？,解:,利用,所以极限不存在.,3.,证明,在全平面连续.,证:,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,