复变函数华中科技大学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,引 言,在十六世纪中叶，,G.Cardano,(1501-1576)在研究一元二次,方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并,把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，,包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，,复数被,Cardano,引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并,被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，,随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于,L.Euler,的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的,Euler,公式 揭示了复指数函数与三角函数之,间的关系。然而一直到,C.Wessel,(挪威.1745-1818)和,R.Argand,(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及,K.F.Gauss,(德国1777-1855)与,W.R.Hamilton,(爱尔兰1805-1865),定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性,的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和,发展。,复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（）构成一个,复数,，记为 .,自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,x,y,分别称为,Z,的,实部,和,虚部,记作,x,=Re(,Z,),y,=Im(,Z,),.,称为 Z 的共轭复数。,与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.,两个复数相等,他们的实部和虚部都相等,特别地，,1.,代数形式,:,复数的表示法,1),点表示,y,z(x,y),x,x,0,y,r,复平面,实轴,虚轴,2),向量表示,-,复数,z,的辐角(argument),记作Arg,z,=,q.,任何一个复数,z,0有无穷多个幅角,将满足,-p,q,0,p,的,q,0,称为Arg z的主值,记作,q,0,=arg,z.,则,Arg,z,=,q,0,+2,k,p,=arg,z,+2,k,p,(,k,为任意整数),0,x,y,x,y,q,z,=,x,+,iy,|,z,|=,r,-,复数,z,的模,当,z,=0 时,|,z,|=0,而幅角不确定.arg,z,可由下列关系确定:,说明：当,z,在第二象限时，,2.,指数形式与三角形式,利用直角坐标与极坐标的关系,:,x,=,r,cos,q,y,=,r,sin,q,可以将,z,表示成,三角表示式,:,利用欧拉公式 e,i,q,=cos,q,+,i,sin,q,得,指数表示式,:,例1,将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z,在第三象限,因此,因此,2)显然,r,=|,z,|=1,又,因此,练习：,写出 的辐角和它的指数形式。,解：,1.2复数复数的运算,设,z,1,+,z,2,=,z,2,+,z,1,;,z,1,z,2,=,z,2,z,1,;,z,1,+(,z,2,+,z,3,)=(,z,1,+,z,2,)+,z,3,),z,1,(,z,2,z,3,)=(,z,1,z,2,),z,3,;,z,1,(,z,2,+,z,3,)=,z,1,z,2,+,z,1,z,3 .,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1,.,四则运算,加减法与平行四边形,法则的几何意义:,乘、除法的几何意义:,定理1,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复,数乘积的幅角等于它们幅角的和.,等式,Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,的意思是等式的两,边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边,的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.,几何上,z,1,z,2,相当于将,z,2,的模扩大|,z,1,|倍并旋转一个角度Arg,z,1,.,0,1,例2：设,求,：,解：,若取,则,若取,则,;,按照乘积的定义,当,z,1,0时,有,定理2,两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数,的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,2,.,乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre,公式：,2,）开方:,若满足，,则称w为z的n,次方根,，,记为,于是,推得,从而,几何解释：,z,1/,n,的,n,个值就是以原点为中心,r,1/,n,为半径的圆,的内接正,n,边形的,n,个顶点。,例2,求,解,因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点半径为2,1/8,的圆的正方形的四个顶点.,1+,i,w,0,w,1,w,2,w,3,O,x,y,1.3,复数形式的代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定,它所表示的平面图形.,例3,将通过两点,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,的直线用复数形式的方,程来表示.,解,通过点(,x,1,y,1,)与(,x,2,y,2,)的直线可用参数方程表示为,因此,它的复数形式的参数方程为,z,=,z,1,+,t,(,z,2,-,z,1,).(,-,t,+),由此得知由,z,1,到,z,2,的直线段的参数方程可以写成,z,=,z,1,+,t,(,z,2,-,z,1,).(,0,t,1,),取,得知线段,的中点为,例4,求下列方程所表示的曲线:,解：,设,z,=,x,+,i y,方程变为,-,i,O,x,y,几何上,该方程表示到点2,i,和,-,2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2,i,和,-,2的线段的垂直平分线,方程为,y,=-,x,也可用代数的方法求出。,O,x,y,-,2,2,i,y,=-,x,设,z,=,x,+,i y,那末,可得所求曲线的方程为,y,=-,3.,O,y,x,y,=-,3,1.4 复数域的几何模型-复球面,0,N,x,1,x,2,x,3,o,z(x,y),x,y,P(x,1,x,2,x,3,),x,1,x,2,x,3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点,z,用直线将,z,与,N,相连,与球面相交于,P,点,则球面上除,N,点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而,N,点本身可代表无穷远点,记作,.这样的球面称作,复球面,.,扩充复数域-,引进一个“新”的数,:,扩充复平面-,引进一个“理想点”,:,无穷远点,.,约定,:,1.4,区域,1.区域的概念,平面上以,z,0,为中心,d,(任意的正数)为半径的圆:|,z,-,z,0,|,d,内部的点的集合称为,z,0,的,邻域,而称由不等式 0|,z,-,z,0,|,M,的所有点的集合,其中实数,M,0,称为,无穷远点的邻域,.即它是圆|,z,|=,M,的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|,z,|,M,的所有点称为,无穷远点的去心邻域,也记作,M,|,z,|,M,设,G,为一平面点集,z,0,为,G,中任意一点.如果存在,z,0,的一个邻域,该邻域内的所有点都属于,G,则称,z,0,为,G,的,内点,.如果,G,内的每个点都是它的内点,则称,G,为,开集,平面点集D称为一个,区域,如果它满足下列两个条件:1),D,是一个开集;2),D,是,连通,的。就是说,D,中任何两点都可以用完全属于,D,的一条折线连接起来.,设,D,为复平面内的一个区域,如果点,P,不属于,D,但在,P,的任意小的邻域内总包含有,D,中的点,这样的点,P,称为,D,的,边界点,.,D,的所有边界点组成,D,的,边界,.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,区域,D,与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作,D,.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数,M,使区域,D,的每个点,z,都满足|,z,|,M,则称,D,为,有界的,否则称为,无界的,.,2.单连通域与多连通域,平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果,x,(,t,)和,y,(,t,)是两个连续的实变函数,则方程组,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),(,a,t,b,)代表一条平面曲线,称为,连续曲线,.如果令,z,(,t,)=,x,(,t,)+,iy,(,t,)则此曲线可用一个方程,z,=,z,(,t,)(,a,t,b,)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.,设,C,:,z,=,z,(,t,)(,a,t,b,)为一条连续曲线,z,(,a,)与,z,(,b,)分别为,C,的,起点,与,终点,.对于满足,a,t,1,b,a,t,2,b,的,t,1,与,t,2,当,t,1,t,2,而有,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,)时,点,z,(,t,1,)称为曲线,C,的,重点,.没有重点的连续曲线,C,称为,简单曲线,或,若尔当,(Jardan),曲线,.如果简单曲线,C,的起点与终点闭合,即,z,(,a,)=,z,(,b,),则曲线,C,称为,简单闭曲线,.,z,(,a,)=,z,(,b,),简单,闭,z,(,a,),z,(,b,),简单,不闭,z,(,a,)=,z,(,b,),不简单,闭,不简单,不闭,z,(,a,),z,(,b,),任意一条简单闭曲线,C,把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去,C,外,一个是有界区域,称为,C,的,内部,另一个是无界区域,称为,C,的,外部,C,为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.,内部,外部,C,定义,复平面上的一个区域,B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于,B,就称为,单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为,多连通域,.,单连通域,多连通域,1.5,复变函数,1.复变函数的定义,定义,设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.,其确定了自变量为,x,和,y,的两个二元实变函数,u,v,.,例如,考察函数,w,=,z,2,.,令,z,=,x,+,iy,w,=,u,+,iv,则,u,+,iv,=(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,因而函数,w,=,z,2,对应于两个二元函数:,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,在以后的讨论中,D,常常是一个平面区域,称之为,定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.,2.映射的概念,函数,w,=,f,(,z,)在几何上可以看做是把,z,平面上的一个点集,D,(定义集合)变到,w,平面上的一个点集,G,(函数值集合)的,映射,(或,变换,).如果,D,中的点,z,被映射,w,=,f,(,z,)映射成,G,中的点,w,则,w,称为,z,的,象,(映象),而,z,称为,w,的,原象,.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数,w,=,z,=,x,i,y;,u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,A,B,C,z,1,z,2,A,B,C,w,1,w,2,设函数,w,=,z,2,=,(,x,+,iy,),2,=,x,2,-,y,2,+,i,2,xy,有,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,x,y,O,u,v,O,z,1,z,2,w,2,z,3,w,3,w,1,函数,w,=,z,2,对应于两个二元实变函数:,u,=,x,2,-,y,2,v,=2,xy,把,z,平面上的两族,双曲线,x,2,-,y,2,=,c,1,2,xy,=,c,2,分别映,射成,w,平面上的两族平行直线,u,=,c,1,v,=,c,2.,10,1,-,1,-,1,-,10,-,8,-,6,-