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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,0 差分方程及其解,1 减肥计划节食与运动,2 贷款买房,3 市场经济中的蛛网模型,差分方程模型,0 差分方程及其解,把含有未知函数的差分或表示成未知函数若干不同时期值的符号的方程称为,差分方程,。,方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为,差分方程的阶,。,差分方程及其解,差分方程的解,：若一个整标函数代入差分方程后，方程两端恒等,差分方程的通解,：如果解中所含相互独立的任意,常数的个数等于方程的阶数,特解：,满足初始条件、不含任意常数的解。,常系数线性差分方程求解,n阶常系数方程,若 =0，则称为齐次方程,线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似，即有：,（1）若 是齐次差分方程的解，则,也是的解，其中C为任意常数。,（2）若 、是齐次差分方程的解，则它,们的线性组合 也是非齐次,差分方程的解。,常系数线性差分方程求解,（3）,若 ，是齐次差分方程n个线性无关,的解，则它们的线性组合,就是齐次差分方程的通解。，,称为齐次差分方程的一组基本解。,（4）若 是齐次差分方程的,通解，是非齐次方程的一个特解，则,是非齐次方程的通解,。,常系数线性差分方程求解,齐次常系数线性差分方程求解,特征方程,若 是特征方程的 个不同的根，,通解可表为,时，只要将,换为,齐次常系数线性差分方程求解,当特征方程有一对共扼单复根时,当特征方程有一对共扼n重复根时,非齐次常系数线性差分方程求解,例,求下列差分方程的通解：,（1）,（2）,（3）,（4）,1 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数,BMI=,w,(kg)/,l,2,(m,2,).,18.5BMI25,超重,;BMI30,肥胖,.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量,每8000千卡增加体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每公斤体重消耗200千卡-320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w,(,k,)-第,k,周(末)体重,c,(,k,)-第,k,周吸收热量,-代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡,w,=100千克不变,第一阶段,:,w,(,k,),每周减,1,千克,c,(,k,),减至下限,10000,千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周,c,(,k,),保持,C,m,w,(,k,),减至,75,千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周,c,(,k,),保持,C,m,w,(,k,),减至,75,千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按,减少至75千克。,运动,t,=24(,每周,跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,根据资料每小时每千克体重消耗的热量,(千卡):,跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速)游泳(50米/分),7.0 3.0 4.4 2.5 7.9,t,每周运动时间(小时),基本模型,3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量,c,(,k,)保持某常数,C,，使体重,w,不变,不,运动,运动,(,内容同前,),问题：,试建立微分方程模型讨论减肥问题,假设：,（1）人每天吸收的能量为固定数A千卡；,（2）单位时间里，人体内用于基础代谢和体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重，比例系数为b;,(3)从事某项运动（活动）在单位时间里消耗的能量正比于体重。单位时间每千克体重消耗的能量为r;,(4)体重w(t)是时间t的连续可导函数；,我们以“天”为时间单位。,体重模型,1 问题与背景,一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：,使用银行贷款,60000,元。月利率,0.01,，贷款期,25,年,=300,个月；,到某借贷公司借贷,60000,元，月利率,0.01,，,22,年还清。只要（,i,）,每半个月还,316,元，,(ii),预付三个月的款,你能帮他们做出明智的选择吗？,2,贷款买房,2 建模与求解,设最初需要借的款数为 ，,月利率（贷款通常按复利计）为 ，,每月还的款数为 ，,借期为N，第n个月时尚欠的款数为,已知,3.结果和分析,=60000，R=0.01，=300,问题1,所以，他们是有能力购房的！,3.结果和分析,问题2,每月还款也是632元，只是多跑一次银行,预付632 x 3=1896元,提前三年还清，少付316 x 72=22752 元,半月利率取为R=0.005，,年,好仁慈的借贷公司啊！,？,3.结果和分析,事实上，按第2个条件，你只借了58104元而不是60000元，即使按R=0.01，,来算，使 的N为,253.05（个月）（年）。,即实际上提前将近4年就可还清。该借贷公司只要去同样的银行借款，即使半个月收来的316元不动，再过半个月合在一起去交给银行，它还可坐收第22年的款近7000元！,3 市场经济中的蛛网模型,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,0,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,供应函数,需求函数,f,与,g,的交点,P,0,(,x,0,y,0,)平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，则,y,k,=,y,0,x,k+,1,x,k+,2,=x,0,y,k+,1,y,k+,2,=y,0,x,y,0,f,g,y,0,x,0,P,0,设,x,1,偏离,x,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,0,是稳定平衡点,P,1,P,2,P,3,P,4,P,0,是不稳定平衡点,x,y,0,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,蛛 网 模 型,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,经济稳定,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,0,y,0,g,f,x,y,0,x,0,g,f,结果解释,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定),1,2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,作业：,P222 1;,2。用微分方程模型讨论模型2的减肥计划,
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