理学第四讲重积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,交换重积分的积分次序,在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法：,先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域,D,，然后根据,D,再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。,交换累次积分的积分次序,例,1,设,连续，证明,分析：,只需交换积分次序，即可证明,.,交换累次积分的积分次序,例,2,分析：,计算,交换积分次序,.,交换累次积分的积分次序,例,3,分析：,交换积分次序：,先确定,r,的范围；然后固定,r,，再确定,的范围,.,交换累次积分的积分次序,三次积分的交换次序方法：,将其中一个变量看成常量，利用二次积分交换积分,次序的方法，逐次交换相邻两个积分的积分次序,.,交换累次积分的积分次序,例,4,按照,x,z,y,的积分顺序，改变下列三次积分的,积分次序：,解,x,y,1,D,xy,交换累次积分的积分次序,x,z,1,分段函数的重积分,例,5,计算二重积分,，,其中,【,解答,】,将区域用曲线,划分为,D,1,和,D,2,，,其中,表示不超过,的最大整数,.,分段函数的重积分,例,6,计算三重积分,，,其中,是由锥面,与平面,所围的立体,.,解题方法：,将积分区域,划分成两个区域,其中,是由锥面,和球面,所围,成的；,是由锥面,，球面,平面,所围成,.,分段函数的重积分,三次积分的计算,例,7,设,在,0,1,上连续，试证：,分析,记,，利用牛顿,莱布尼茨公式,重积分的坐标变换,例,8,计算,注：,确定二重积分的区域，将二次积分化为二重积分，,用极坐标进行计算,.,重积分的坐标变换,例,9,设,为连续函数，区域,D,由,确定，,证明：,注：,等式右端是一个定积分，被积函数含有,，,所以，必须有一个变量表示,故可作极坐标,变换,.,重积分的坐标变换,证明：,由对称性知,重积分的坐标变换,例,10,解题思路：,重积分的坐标变换,例,11,解题思路：,重积分的坐标变换,例,12,设函数,连续且大于零，,其中：,（,1,）讨论函数,在,内的单调性；,（,2,）证明：当,时，,重积分的坐标变换,解题思路：,（,1,）利用球坐标变换将三重积分化为,定积分，用极坐标变换将二重积分化为定积分。,（,2,）作辅助函数,并讨论函数,g,(,t,),的单调性,.,重积分的坐标变换,例,13,计算,其中,做变换,解题思路：,重积分的坐标变换,例,14,设有心脏线的方程,，,求它与极轴围成的平面图形绕极轴所得旋转体,的体积。,解题思路：,用球坐标去计算,重积分的坐标变换,例,15,计算,解题思路：,用广义球坐标变换,其中,由曲面,所围的区域,.,注意：雅可比行列式为,重积分的对称性,例,16,求,，其中,解题思路,利用对称性，,重积分的对称性,例,17,求,，其中,解题思路,利用对称性，,（轮换对称性）,重积分的对称性,例,18,求,，其中,D,为直线,解题思路,将区域,D,划分为,所围成的平面区域,.,，,其中,，,注意到,D,1,关于,x,轴对称，,D,2,关于,y,轴对称,.,答案：,重积分的对称性,例,19,设,f(x,),在,0,1,上可积，证明,解题思路,利用,再利用轮换对称性,.,重积分的对称性,例,20,计算,，,其中,为常数,是球体：,，,解题思路：,由对称性知,由轮换对称性，,所以，,用球坐标可以求得,.,，,也可用截面法求得,.,答案：,重积分的对称性,例,21,解题思路：,设函数,在,上连续，证明：,利用对称性，,重积分的对称性,例,22.,设,为连续正值函数，证明：,为常数,.,解题思路：,利用轮换对称性，,利用形心公式求重积分,假设平面图形,D,的面积为,A,，则,，,其中,为平面图形的形心,.,假设空间立体,的体积为,V,，则,利用形心公式求重积分,例,23,设,，,计算,解答：,利用形心公式计算,.,与重积分有关的方程问题,例,24.,设,为,D,上,的连续函数，且,求,解题思路：,等式两边同乘,，,再两边积分,.,与重积分有关的方程问题,例,25.,设,在,上连续，且满足,求,解题思路,用球坐标变换,.,然后两边求导,.,注：,是偶函数，故只需考虑,答案：,综合例题,例,26.,设函数,具有连续导数,且,求,分析,此三重积分的被积函数是的函数，积分区域又是球体，故应用球面坐标。,注,化重积分为累次积分是处理这类问题的基本方法，注意使用洛必达法则及导数概念。,综合例题,例,27.,证明,提示,利用,其中,再利用夹逼定理,.,