现代控制理论的数学基础课件

,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,1,现代控制理论的数学基础,一矩阵的定义,1,矩阵,矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、复数、函数或算子。一个,n,行,m,列的矩阵表示为,称为 矩阵。,1现代控制理论的数学基础 一矩阵的定义1矩阵,2,2,方阵,方阵是行数和列数相等的矩阵。一个 矩阵称为,n,阶方阵。,3,向量,1,）只有一列的矩阵称为列向量。,具有,n,个元素的列向量 称为,n,维列向量。,2,）只有一行的矩阵称为行向量。,具有,n,个元素的行向量 称为,n,维行向量。,22方阵 方阵是行数和列数相等的矩阵。一个,3,4,对角线矩阵,如果除方阵,A,的主对角线元素外，其余的元素均为零，则称矩阵,A,为对角线矩阵，写成,5,单位矩阵,主对角线上元素全为,1,的对角线矩阵称为单位矩阵，即,34对角线矩阵 如果除方阵A的主对角线元素,4,6,零矩阵：,所有元素都为零的矩阵。,7,转置矩阵,如果 矩阵,A,的行和列互相交换，则由此得到的 矩阵称为矩阵,A,的转置矩阵，用,A,T,表示。,矩阵转置的规律：,1,）,(,A,T,),T,=,A,2,）,(,A+B,),T,=,A,T,+B,T,3,）,(,AB,),T,=,B,T,A,T,4,）,(,kA,),T,=,kA,T,46零矩阵：所有元素都为零的矩阵。7转置矩阵,5,设方阵,A,的行列式为,|,A,|,，如果,|,A,|=0,，则称,A,为奇异矩阵；如果,|,A,|0,，则称,A,为非奇异矩阵。,9,对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）,8,奇异矩阵与非奇异矩阵,1,）对称矩阵：,如果方阵,A,的元素相对于主对角线对称，则称,A,为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵,A,等于它的转置矩阵，即,A,=,A,T,，则,A,为对称矩阵）。,2,）斜对称矩阵：,如果方阵,A,等于它的转置矩阵的负值，即,A,=,-,A,T,，则方阵,A,称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）,.,5 设方阵A的行列式为|A|，如果|A|=0，,6,二矩阵的代数运算,1,矩阵的加减法,如果两个矩阵,A,和,B,具有相等数量的行和列，则这,两个矩阵可以相加和相减。若 及 ，,则有,即矩阵的加减法就是把两个矩阵同行同列的元素相加、相减。,6二矩阵的代数运算1矩阵的加减法 如果两个,7,2,矩阵与数的乘积（标量积）,一个数量,k,与矩阵,A,相乘，就是把矩阵,A,的每个元素都乘上,k,，即,72矩阵与数的乘积（标量积）一个数量k与矩阵,8,3,矩阵与矩阵的乘法,设,A,为,n,m,矩阵，,B,为,m,p,矩阵，则,A,和,B,的乘积矩阵,C,为：,矩阵与矩阵乘法的性质：,1,）,(,AB,),C,=,A,(,BC,),2,）,(,A+B,),C,=,AC+BC,3,）,C,(,A+B,)=,CA+CB,4,）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即,AB,BA,。,5,）一个,n,阶方阵,A,与一个,n,阶单位矩阵,I,相乘时，可互换位置顺序，其乘积相同，即,IA,=,AI,=,A,。,6,）如果两个方阵,A,和,B,的乘积等于零,不能推论,A,=0,或,B,=0,83矩阵与矩阵的乘法 设A为nm矩阵，B为m,9,三逆矩阵（,）,1,子式,M,ij,：,从,n,阶方阵,A,中去掉第,i,行和第,j,列后所得到的是一个,(,n,-1),阶方阵，该,(,n,-1),阶方阵的行列式便称为,n,阶方阵,A,的子式,M,ij,。,2,余因子,A,ij,：,矩阵,A,的一个元素,a,ij,的余因子,A,ij,是用方程,A,ij,=(,-,1),i+j,M,ij,来定义的，即元素,a,ij,的余因子,A,ij,是以,(,-,1),i+j,乘矩阵,A,中去掉第,i,行和第,j,列后构成的矩阵的行列式,子式,M,ij,。,9三逆矩阵（）1子式Mij：从n阶方阵A中去掉第i行,10,3,伴随矩阵：,矩阵,A,的伴随矩阵是以,A,的余因子为元素所构成的矩阵的转置矩阵，即,4,矩阵的逆矩阵：,若方阵,A,的行列式,|,A,|,不等于零，即,A,为非奇异，则矩阵,A,有逆矩阵存在，其计算式为,103伴随矩阵：矩阵A的伴随矩阵是以A的余因子为元素所构成,11,5,逆矩阵的特性：,1,）,AA,-,1,=,A,-,1,A,=,I,（,I,为单位矩阵）,2,）若,|,A|,0,，,|,B|,0,，则,(,BA,),-,1,=,A,-,1,B,-,1,3,）如果,|,A|,0,，则,(,A,T,),-,1,=(,A,-1,),T,4,）,(,A,-,1,),-,1,=,A,四矩阵的秩（,）,如果矩阵,A,的,m,阶子矩阵存在，且至少有一个,m,阶子矩阵的行列式不为零，而,A,的,r,阶子矩阵（,r,m,+1,）构成的行列式均为零，则称矩阵,A,的秩等于,m,，记为,rankA,=,m,。,115逆矩阵的特性：四矩阵的秩（）,12,五矩阵的初等变换（,）,如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一，就说这个矩阵经过了一次,初等变换，即,1,）将任意两行（或两列）的元素互换位置；,2,）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于,0,的数,;,3,）将任意一行（或一列）元素的,c,倍加到另一行（或另一列）的元素上去。,矩阵的初等变换有下述两个重要定理：,1,）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。,2,）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后，总能变成阶梯形矩阵。,12五矩阵的初等变换（）矩阵的初等变换有下述,13,阶梯形矩阵：,矩阵任一行第一个非零元素的下方全为零。例如,因为阶梯形矩阵很容易确定它的秩，因此利用上述两个定理，先把矩阵变成阶梯形矩阵，再确定阶梯形矩阵的秩，即为原矩阵的秩。,13阶梯形矩阵：矩阵任一行第一个非零元素的下方全为零。例如,14,考虑方阵,A,特征矩阵,：,A,-,I,特征方程：,|,A,-,I,|=0,特征值：,特征方程的根,特征向量：,将某一特征值,i,代入方程,Ax,=,x,中，,解得的向量,x,称为与特征值,i,相应的一个特征向量。,六矩阵的特征值和特征向量（,）,14 考虑方阵A六矩阵的特征值和特征向量（）,15,七向量的线性相关和线性独立,(,或称线性无关,)(),设有,m,个,n,维向量,如果存在一组不全为零的数 ，使得,则称向量组,是线性相关的。如果只有当,时，才能使,则称这,m,个向量是线性独立的。,15七向量的线性相关和线性独立(或称线性无关)()设,