高数-考研-线性微分方程解的结构-第四节课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 线性微分方程解的结构,一、函数组的线性相关与线性无关,二、线性微分方程解的结构,第四节 线性微分方程解的结构一、函数组的线,1,对于,n,=2，两个非零函数,y,1,，,y,2,在区间I上线性相关等价于它们的比值是一个常数，即 （常数），若,则,y,1,，,y,2,线性无关,定义1,设 是定义在区间,I,上的一,组函数，如果存在,n,个不全为零的常数，使得对任意的等式,恒成立，则说在区间,I,上是线性相关的，否则称它们是,线性无关的（线性独立的）,一、函数组的线性相关与线性无关,对于n=2，两个非零函数y1，y2在区间I上线性相关等价于它,2,概念的引入,解,受力分析,概念的引入解受力分析,3,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程,4,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n,阶线性微分方程,二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n,5,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:,6,例如,线性无关,线性相关,例如线性无关线性相关,7,特别地:,例如,特别地:例如,8,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,9,解的叠加原理,解的叠加原理,10,三、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式,得,则有,三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解-,11,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程,12,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法设对应齐次方,13,(5),(4),(5)联立方程组,(5)(4),(5)联立方程组,14,积分可得,非齐次方程通解为,积分可得非齐次方程通解为,15,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例,16,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,设原方程的通解为解得原方程的通解为,17,四、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法,18,练 习 题,练 习 题,19,高数-考研-线性微分方程解的结构-第四节课件,20,练习题答案,练习题答案,21,