高等数学 同济版第二节_对坐标的曲线积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念,与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作的功,.,(,其中,为,n,个小弧段的最大长度,),2.,定义,.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,称为对,x,的曲线积分,;,称为对,y,的曲线积分,.,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,其中,3.,性质,(1),若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明,:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,如果,L,的方程为,则,空间光滑曲线弧,:,有,例,1.,计算,其中,L,为沿抛物线,从点,的一段,.,例,2.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的上半,圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,例,3.,计算,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,例,4.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,试求力场对质点所作的功,.,其中,为,点,O,的距离成正比,例,5,.,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,例,6.,求,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,例,7.,已知,为折线,ABCOA,(,如图,),计算,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以,弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,令,记投影为,例,9.,将,积分,化为对弧长的积,分,其中,L,沿上半圆周,例,8.,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,续,在,L,上连,1.,定义,2.,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,3.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,作业,P200,(2),(4),(6),(8),7 8,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的,等价条件,格林公式及其应用,区域,D,分类,单,连通区域,(,无,“洞”,区域,),复,连通区域,(,有,“洞”,区域,),域,D,边界,L,的,正向,:,观察者左侧,定理,1.,设区域,D,是由分段光滑正向曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上具有连续一阶偏导数,一、格林公式,推论,:,正向闭曲线,L,所围区域,D,的面积,格林公式,例如,椭圆,所围面积,