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,相似形（放大縮小圖）,操作幾何化講義,台北市立金華國中 吳柏卓 編製,GSP,簡介與使用說明,針對九年一貫七年級幾何教材所整理的,授課內容,，有別於各出版社的解說過程，希望能引導、儘可能給予學生更合乎數學推論的真正實測操作。,數學的學習注重循序累進的邏輯結構,，這正是,操作幾何,努力的方向，,使用說明：,這是 Power Point 2002 簡報檔，動畫表現還可接受，,按滑鼠左鍵或右鍵,便能持續進行，有些補充說明或教學心得可參考,備忘稿,。,GSP圖檔與執行程式,需與簡報檔放在同一資料夾。【,連結,GSP使用說明頁,】,操作幾何化講義,的第二單元，編號：Geo_02,簡介與使用說明針對九年一貫七年級幾何教材所整理的授課內容，,簡要說明,利用,直接觀察,的結果與相似形的定義結合，再推論三角形的相似（SSS、AA）性質、三角形的平行線性質、作相似形的方法、等。,在國中數學上的討論還是以最基本的平面圖形，即三角形與四邊形為主，知道平面上基本圖形的相似性質，就能推廣到較複雜或立體的圖形。,放大縮小圖（,相像,）也認為是相似的一種，但其定義比相似形寬鬆，可由電腦繪圖的放大縮小功能對照兩者的差別。,簡要說明利用直接觀察的結果與相似形的定義結合，再推論三角,直觀的相似形-(1),想想投影機、影子遊戲、電影、等例子，通常它們都具備有光源、影片（實物）、影像三者。透過光源的照射，我們,認為,所看到的影像與影片（實物）是相似的。,平行放置,所產生的影像才是我們,認可,的相似形。,但是：光源、實物、影像三者的位置該如何放置，才會產生我們認為的相似結果呢？,光源,實物,影像,光源投射說明頁,直觀的相似形-(1)想想投影機、影子遊戲、電影、等例子，通,直觀的相似形-(2),(1)形狀相同，大小不同（但維持固定的比例）。,你同意上述的說法嗎？當然，或許你還有其他的方法說明你認為的相似形。,(2)相似形可經由放大或縮小，得到全等的圖形。,(3)相似形（,整體相似,），則對應的任何一小部分圖形 也會相似（,部分相似,）。,可用以下幾個直接觀察瞭解相似形。,(4)如果圖形所分割的任何對應部分都有同樣的,相似程度,，那當然也可以拼出整體相似的圖形。,直觀的相似形-(2)(1)形狀相同，大小不同（但維持固定的,相似形的意義-(3),簡單的平面圖形，如：三角形、四邊形、.等，可認為都是由邊與角組合而成，而,對應的部分圖形所指的就是其中的對應邊或對應角,。,結論,：在平面上，兩圖形相似，則其所有的 對應邊成比例，對應角相等。,由第(3)項直觀意義,，可,直接認為,實物與相似形的對應邊倍率或說比例相同，數學語法稱為,對應邊成比例,。再者，想像實物與相似形可透過光源照射所得，回想之前提到的,平行放置,，則由平移可推得,對應角相等,。,將直觀上的說法，改成數學語法。,相似形的意義-(3)簡單的平面圖形，如：三角形、四邊形、.,相似形的意義-(4),反之，由之前的第(4)項直觀意義，若兩個圖形所能分割的各個對應部分都有同樣的,相似程度,，即對應邊的比例相同且對應角相等（部分相似），則可,拼出,全部相似的圖形（整體相似）。,結論,：若兩圖形的所有對應邊成比例，對應角相等 ，則兩圖形相似。,將直觀上的說法，改成數學語法。,總結：,圖形相似 對應邊成比例，對應角相等,。,【這也是用來檢驗,、判斷有無相似的方法之一】,相似形的意義-(4)反之，由之前的第(4)項直觀意義，若兩個,相似形的意義-(5),以四邊形為例，使用數學列式，再說明相似的意義。,如圖，若,ABCD與EFGH 相似，則，且AE、BF、CG、DH。,DA,：HE,CD,：GH,BC,：FG,AB,：EF,反之，若,ABCD與EFGH 中，且AE、BF、CG、DH，則 ABCD與EFGH 相似。,DA,：HE,CD,：GH,BC,：FG,AB,：EF,A,B,C,D,G,F,H,E,相似形的意義-(5)以四邊形為例，使用數學列式，再說明相似的,放大圖與縮小圖,在使用影像軟體的經驗中，經常會將圖片放大或縮小，當然為了配合版面，可能橫向與縱向放大或縮小的比例並不一樣，但是都可稱為是原圖的放大圖或縮小圖。,不過，一來為了不使圖形失真，二來為了簡化問題得以容易解說，一般的放大圖與縮小圖都是在平面上討論，,且指橫向與縱向（有兩個方向即可）均依相同的比例放大或縮小,所得的圖形。,此時的放大縮小圖又稱之為相似形。,放大圖與縮小圖在使用影像軟體的經驗中，經常會將圖片放大或縮小,如何表示,放大或縮小的程度？,如何將放大或縮小的程度給予量化呢？,我們認為最容易，也最方便的比較是,對應邊,。對應邊長越大，表示放大的圖形越大；對應邊長越小，表示縮小的圖形越小；而對應邊長相等，表示圖形全等。,即,以對應邊的比例大小，來說明放大或縮小的程度,。,例如：2倍放大圖，表示所有對應邊長都放大2倍的意思。,實例中，如影印機、繪圖軟體的放大縮小倍率都是指對應邊的比例大小。,又大小常與面積聯想，2倍放大圖，表示面積大小增加為原來的4倍,。,如何表示放大或縮小的程度？如何將放大或縮小的程度給予量化呢？,相似形的遞移律,以三角形為例，,若 ABC與DEF 相似，DEF與PQR 相似，則 ABC與PQR 也會相似。（怎麼推想呢？）,同理可知，全等也具有遞移律。,全等形與相似形的關係：,兩圖形全等必定相似,；反之，,兩圖形相似不一定會全等,。,由第(2)項直觀意義，知道此三個三角形都可經由放大或縮小，得到全等的圖形，所以，三者彼此相似。,相似形的遞移律以三角形為例，同理可知，全等也具有遞移律。全等,相似形的幾何量（周長與面積）,設矩形甲圖與乙圖是相似形。,若,甲圖是乙圖的k倍放大圖；則乙圖是甲圖的1/k倍縮小圖,。此時，甲圖的周長是乙圖的k倍；甲圖的面積是乙圖的k,2,倍。反之，乙圖的周長是甲圖的1/k倍；乙圖的面積是甲圖的1/k,2,倍。,甲面積kakbk,2,abk,2,乙面積。,甲周長k（aabb）k乙周長。,乙,a,b,b,a,甲,ka,kb,kb,ka,相似形的周長比對應邊的比,。,相似形的面積比對應邊平方的比,。,相似形的幾何量（周長與面積）設矩形甲圖與乙圖是相似形。甲面積,四邊形（多邊形）的相似條件,以例子說明,四邊形（多邊形）相似，必須同時合乎定義的兩個條件【對應邊成比例,、對應角相等】，才會成立,。,(1)如圖的正方形與菱形，四個邊對應成比例，但是四個角 沒有對應相等，顯然不會相似。,(2)如圖的正方形與矩形，四個角都是90度對應相等，但是 四個邊沒有對應成比例，顯然不會相似。,四邊形（多邊形）的相似條件以例子說明四邊形（多邊形）相似，必,三角形的相似條件,僅有三個邊的三角形其相似條件可以少一些，並不需要同時合乎對應邊成比例與對應角相等兩大要件。發現只要檢驗出對應邊成比例（SSS）或是對應角相等AAA那三角形就會相似。,【還有其他的相似條件，在八,、九年級時才會說明。】,但是說明之前先要有,SSS唯一作圖,的先備知識，即,給定三角形的三邊長,，所作出的三角形，其形狀大小是無法改變的（唯一），這也是三角形具有,穩定性,的表現。,所以，若有兩三角形的三邊長分別對應相等，則可認為兩三角形是由給定的三邊長所作出，其形狀大小會一模一樣，是會全等的。,三角形的相似條件僅有三個邊的三角形其相似條件可以少一些，並不,三角形的SSS相似,性質,兩三角形的對應邊成比例，則此兩三角形相似。,考慮邊長為2、3、4與4、6、8的三角形，,(1)將2、3、4的邊長放大為4、6、8之後，(2)發現與4、6、8的三邊長相同，表示兩者是全等的 三角形（SSS唯一作圖）。(3)推論是：2、3、4與4、6、8相似，又知4、6、8與4、6、8全等，因為相似與全等 都具有遞移律，所以2、3、4與4、6、8相似。,相似,全等,三角形的SSS相似性質兩三角形的對應邊成比例，則此兩三角,三角形的AA相似,性質,兩三角形的對應角相等，則此兩三角形相似。,問題：兩三角形只需要有兩個角對應相等就會相似了（why？）。,C,B,A,A,1,C,1,B,1,兩三角形對應角分別相等，則可疊出右下方圖形，且因為BB,1,；CC,1,，所以與是,平行放置,的（沒有旋轉）。如同之前的投射說明，將重合的A與A,1,當作光源，是實物，是影像，則 ABC與A,1,B,1,C,1,是相似的。,BC B,1,C,1,B,1,C,1,BC,三角形的AA相似性質兩三角形的對應角相等，則此兩三角形相,三角形的平行線性質-(1),回顧：任作三角形一邊的,平行線,後，會產生,相似三角形,，與,相似形的比例線段,。,E,D,L,C,B,A,如圖，在ABC中，直線L與 平行，且與 相交於D點，與 相交於E點，形成ADE，則ADE與ABC相似。（想像光源投射，,平行放置,，產生相似形）,BC,AC,AB,因為ADE與ABC相似，所以對應邊成比例，即。,DE,：BC,AE,：AC,AD,：AB,三角形的平行線性質-(1)回顧：任作三角形一邊的平行線後，,三角形的平行線性質-(2),反之,，在ABC中，若 ，則 。【有比例線段,，產生平行線】,DE/,BC,AE,：AC,AD,：AB,E,D,C,B,A,意即,，只要能在一個角,（A）的兩邊找到 ，則連接的與會互相平行（）。,AE,：AC,AD,：AB,DE/,BC,DE,BC,驗證方法：先作出具有的圖形，再利用【,整體相似,部分相似,】的拼圖過程來獲得結論，應該還算是滿直觀的操作模式，仔細聽懂不難。,AE,：AC,AD,：AB,三角形的平行線性質-(2)反之，在ABC中，若,操作說明篇-(2.1),【,接著拼圖說明,】兩個共邊且同樣相似程度的圖形可拼出整體相似圖形，即,ADGE,（AGDAGE）與,ABHC,（,AHDAGC）,會相似,。所以，,ADGE的部分圖形,DGE,與,ABHC的部分圖形,BHC,也會相似。在,DGE,與,BHC,中，因為,、，表示,兩相似三角形的放大、縮小,無關旋轉,，所以第三邊也會平行，即。,DG/B,H,GE/,HC,DE/,BC,DE/,BC,H,G,E,D,C,B,A,【,先作出,圖形,】過A任作一直線，,作，則，且AGD與AHB相似。作，則，且AGE與AHC相似。所以，由遞移律可得 。,DG/BH,AG,：AH,AD,：AB,GE/,HC,AE,：AC,AG,：AH,AE,：AC,AD,：AB,AE,：AC,AD,：AB,操作說明篇-(2.1)【接著拼圖說明】兩個共邊且同,相似形的作圖-(1),光源投射法（利用部分相似拼圖，平行放大、縮小）,先選擇一個固定點當做光源，再連接光源至頂點的光源線。(1)依照,光源線的比例找到對應頂點,，再將對應頂點依序 連接即可繪製完成。,(2)或者，依照光源線的比例找到,一組對應頂點,之後，再 由頂點,分別作各對應邊的平行線,，與光源線的交點 即是對應頂點。,相似形的作圖-(1)光源投射法（利用部分相似拼圖，平行放大、,相似形的作圖-(2),格線法（位置對應觀念，位置相同，大小不同）,如將格線也視為圖形的一部份，要繪製放大（縮小）圖時，只要將（方格）依照要求放大（縮小）之後，再依照相同的,相對位置,找到對應點，再連接對應邊即可。,(右2上4),(右2下3),相似形的作圖-(2)格線法（位置對應觀念，位置相同，大小不同,相似形的作圖-(3),相似規（放縮尺）,利用,平行四邊形,的不穩定性，配合,三角形平行線的相似性質,，製造出可臨摹相似形的,相似規,。,相似的原理到九年級時應有機會說明。,在影印機不普遍的年代倒是常見到坊間販賣的放縮尺，大的有好幾節（使用多個平行四邊形連接）可伸縮。,參照GSP圖檔提供的簡單相似規。,相似形的作圖-(3)相似規（放縮尺）利用平行四邊形的不穩,比例式的計算,型如 a：bc：d 的算式稱為比例式。一定要會的計算化簡方法有三項,，分別舉例說明：,(1)約分。例如：【4a,：10b6c：15d】可約分成【2a：5b2c：5d】或【2a：10b3c：15d】或【2a：2b3c：3d】,
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