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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,静电场,第二章,内 容 概 要,1.,直角坐标系下的通解,2.,球坐标系下的通解,3.,柱坐标系下的通解,4.,拉普拉斯方程解的应用,2.3,分离变量法解拉普拉斯方程,内 容 概 要 1.直角坐标系下的通解2.3 分离变量,唯一性定理,自由电荷分布在具体的区域内,大部分空间没有自由电荷分布,空间电场,给定电荷分布和边界条件,泊松方程,泊松方程,表面作为求解空间的边界,产生电场的电荷分布在区域的边界上,其作用通过边界条件反映出来,.,这类问题的解法是求解拉普拉斯方程的满足边界条件的解,.,拉普拉斯方程,唯一性定理自由电荷分布在具体的区域内空间电场给定电荷分布和边,区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部,.,在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成：,拉普拉斯,（,Laplace,）,方程,拉普拉斯算符：,直角坐标：,柱坐标：,球坐标：,区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部.在无自由电荷的空间区,1.,直角坐标系下的通解,直角坐标中的拉普拉斯方程,1.直角坐标系下的通解直角坐标中的拉普拉斯方程,x,y,z,=,V,(,x,y,),=0,=0,=0,x=a,y=b,z=c,以一个长方盒为例，在,(,x,y,z,),方向上的线度为,(,a,b,c,).,除了,z=c,的面上的势等于,V,(,x,y,),外,这个盒的所有其他几个面的势都等于零,.,需要求的是盒内各处的势,.,由下述必要条件：当,x=,0,y=,0,z=,0,时,=,0,容易看出,X,Y,Z,必需具有如下形式：,为了确定,2,2,必须对势加上特殊的边界条件,.,xyz=V(x,y)=0=0=0 x=ay=bz,为使,x=a,与,y=b,时,=,0,必须有,a,=,n,b=m,为使x=a与y=b时,=0,必须有a=,边界条件,z,=,c,时,=,V,(,x,y,),V,(,x,y,),的二重傅里叶展开,如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就可以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解,.,边界条件z=c时,=V(x,y)V(x,y),2.,球坐标系下的通解,球坐标中的拉普拉斯方程,z,x,y,r,P,如果多变量函数可以分离：,或,2.球坐标系下的通解球坐标中的拉普拉斯方程zxyr,左边两项分别仅与,r,和,(,),相关，故两项必须是与变量无关的常数，记为,和,-,，实现,第一次变量分离,：,(2),式左边两项分别仅与,和,相关，故为常数，记为,和,-,，实现,第二次变量分离,：,左边两项分别仅与r和(,)相关，故两项必须是与变量无关的,电势的单值性要求，,h,(,),应为周期,2,的周期函数,(4),式通解为,缔合勒让德,(,Legendre,),方程,电势的单值性要求，h()应为周期2的周期函数(4)式通解,缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件：,缔合勒让德函数：,通解为,球坐标下拉普拉斯方程的通解：,缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件：缔合勒让德,球坐标下拉普拉斯方程的通解：,若系统具有轴对称性，取对称轴为,z,轴，,勒让德函数,若问题具有,球对称性,球坐标下拉普拉斯方程的通解：若系统具有轴对称性，取对称轴为z,3.,柱坐标下的通解,二维问题的解：,或写成：,若二维问题又具有轴对称性，则电势与,无关,一般用于二维问题,.,3.柱坐标下的通解二维问题的解：或写成：若二维问题又具有,4.,拉普拉斯方程解的应用,分离变量法的解题步骤：,根据界面的形状选择适当坐标系,.,建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通,解,.,写出边界条件和衔接条件,(,即不同区域分界面,上,的边值关系,).,根据定解条件，求出通解中的积分常数,.,将,求出的积分常数代入通解表达式，得到实际,问题的解,.,关键步骤：,充分利用对称性，写出简单的通解,.,正确写出边界条件，不能有遗漏,.,4.拉普拉斯方程解的应用分离变量法的解题步骤：根据,例,1,一个内径和外径分别为,R,2,和,R,3,的导体球壳,带电荷,Q,同心地包围着一个半径为,R,1,的导体球,(,R,1,R,2,).,使这个导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷,.,边界条件为：,有球对称性,电势不依赖于角度,n,0,.,(1),内导体球接地,(2),导体是等势体,(3),球壳总电荷,Q,解：,导体壳内的电势为,导体壳外的电势为,例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷Q,把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得,其中,导体球上的感应电荷为,把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得其中导体球上的感应,轴对称,(,z,轴,),，分区均匀,解：,介质球外：,介质球内：,z,例,2,电容率为,的介质球置于均匀外电场 中,求电势,.,轴对称(z轴)，分区均匀解：介质球外：介质球内：z例2 电,边界条件,:,边界条件:,(3),边界连接条件,:,比较 的各阶系数，可以将各系数确定,.,(3)边界连接条件:比较,系数行列式非零,系数行列式非零,空间电势：,介质球内为均匀电场：,球内极化强度：,球内总极化电偶极矩：,偶极子产生的电势：,空间电势：介质球内为均匀电场：球内极化强度：球内总极化电偶极,解：,边界连接条件：,表面电荷密度：,空间电势：,静电情况下，导体相当于介质,例,3,半径为,R,0,的导体球置于均匀外电场,中，求电势和导体上的电荷密度,.,解：边界连接条件：表面电荷密度：空间电势：静电情况下，导体相,例,4,导体尖劈带电势,V,分析它的尖角附近的电场,.,用柱坐标系,.,取,z,轴沿尖边,.,设尖劈以外的空间,即电场存在的空间为,0,2-,(,为小角,).,因,不依赖于,z,柱坐标下的拉氏方程为,可得其通解为,:,由边界条件,:,劈尖,=0,面上,=,V,与,r,无关,所以,解：,例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场.,因,r,0,时,有限，得,在尖劈,=2,-,面上，,=,V,与,r,无关，必须,因此,v,的可能值为,考虑这些条件，,可以重写为,在尖角附近,r,0,，上式求和式的主要贡献来自,r,的最低次幂项，即,n,=1,项,因r 0时有限，得在尖劈=2-面上，=V与,电场为,尖劈两面上的电荷面密度为,很小时,v,1,趋于,1/2,，,电荷面密度很大，趋于,r,-1/2,.,电场为尖劈两面上的电荷面密度为很小时,v1趋于1/2，电,作 业,2 3 6,作 业2 3,
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