定积分在经济学中的应用ppt课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6-7 定积分在经济学中的应用,1,6-7 定积分在经济学中的应用1,1.成本函数,总成本,=固定成本 +可变成本,平均成本(单位成本)=,2.收益函数,收益=价格销量，即,R,(,Q,),=,PQ.,3.利润函数,利润=总收益-总成本，即,L,(,Q,),=,R,(,Q,)-,C,(,Q,),.,复习,2,1.成本函数总成本 =固定成本 +可,4.边际,f,(,x,),在,x=x,0,处的边际值为,f,(,x,0,),.,边际的经济意义:当 时,x,改变一个单位,y,改变,个,单位.,5.常用的边际函数,边际成本；边际收益；边际利润,3,4.边际 f(x)在 x=x0处的边际值为f(x0).,第七节 定积分在经济学中的应用,一、已知边际函数求总函数,二、资金流的现值和未来值,第六章,4,第七节 定积分在经济学中的应用一、已知边际函数,一、已知边际函数求总函数,问题：,已知某边际经济函数，求该总经济量.,设某个经济函数,u,(,x,)的边际函数为 ,则有,于是,5,一、已知边际函数求总函数 问题：已知某边际经济函数，求该总经,2.已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，,R(0)=0,则总收益函数为,1.已知生产某产品的边际成本为 ，,x,为产量，,固定成本为C(0),则总成本函数为,6,2.已知销售某产品的边际收益为 ，,3.设利润函数,L,(,x,)=,R,(,x,)-,C,(,x,),其中,x,为产量，,R,(x)是收益函数,C,(,x,)是成本函数，若,L,(,x,),R,(,x,),C,(,x,)均可导，则边际利润为：,L,(x)=,R,(x)-,C,(x).,因此总利润为：,7,3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产,例1,生产某产品的边际成本函数为,固定成本,C,(0),=,1000,求生产,x,个产品的总成本函数,.,解,8,例1 生产某产品的边际成本函数为,例2,已知边际收益为 ,设,R,(0)=0,求,收益函数,R,(,x,).,解,9,例2 已知边际收益为,例3：,设某商品的边际收益为,(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2)如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,解,:(1),总收益函数:,平均收益:,10,例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总,例3：,设某商品的边际收益为,(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；,(2)如果已经销售了100个商品，求再销售,100个商品的总收益和平均收益；,解,:(2),总收益为:,平均收益:,11,例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总,例4：,已知生产某产品,x,台,的边际成本为,(万元/台)，边际收入为 (万元/台).,(1)若不变成本为,C,(0)=10,(万元/台),求总成本函数，,总收入函数和总利润函数；,(2),当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;,解:,(1),总成本为,12,例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收,由于当产量为零时总收入为零,即,R,(0)=0,于是,总收入为,总利润函数为,13,由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是 总收入为,（万元）,(2),当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;,当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;,（万元）,14,（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;,二、由变化率求总量,例5,某工厂生产某商品,在时刻,t,的总产量变化率为 (单位/小时).求由,t,=,2,到,t,=,4,这两小时,的总产量,.,解,总产量,例6,生产某产品的边际成本为 ,当,产量由200增加到300时,需追加成本为多少?,解,追加成本,15,二、由变化率求总量,例7,在某地区当消费者个人收入为,x,时,消费,支出,W,(,x,),的变化率,当个人收入由,900,增加,到,1600,时,消费支出增加多少?,解,16,例7 在某地区当消费者个人收入为 x 时,消费 解,设有本金,A,0,年利率为,r,则一年后得利息,A,0,r,本利和为,A,0,A,0,r,A,0,(1,r,),n,年后所得利息,nA,0,r,本利和为,A,n,=,A,0,+,nA,0,r,=,A,0,(1+,nr,),这就是,单利的本利和计算公式,1.单利,假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内,都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.,三、收益流的现值与未来值,17,设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利,第二年以第一年后的本利和,A,1,为本金,则两年后的本利和为,A,2,A,0,(1,r,),A,0,(,r,),r,A,0,(,r,),2,，照此计算,n,年后应得本利和为,A,n,A,0,(1,r,),n,这就是,一般复利的本利和计算公式,.,2.复利,这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被,计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.,三、收益流的现值与未来值,18,第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利,资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分,n,期计算,年利率仍为,r,于是每期利率为,r/n,则一年后的本利和为,A,1,A,(1,r/n,),n,，,t,年后本利和为,A,t,A,(1,r/n,),n,t,，,若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是,n,时,得,t,年后本利和为,这就是,连续复利公式,19,资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,因此，在年利率为,r,的情形下,若采用,连续复利,，有：,（1）已知现值为,A,0,则,t,年后的未来值为,A,t,A,e,rt,，,（2）已知未来值为,A,t,则贴现值为,A,A,t,e,-rt,期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时,3.连续复利,每刻计算复利的方式称为,连续复利,.,贴现值：,时刻,t,的一个货币单位在时刻0时的价值.,20,因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：,我们知道,若以连续复利率,r,计息,一笔,P,元人民币,从现在起存入银行,t,年后的价值(将来值),若,t,年后得到,B,元人民币,则现在需要存入银行的金,额(现值),下面先介绍收益流和收益流量的概念,.,若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的,收益流,.而收益流对时间的变化率称为,收益流量.,4、收益流的现值和将来值,21,我们知道,若以连续复利率 r 计息,收益流量实际上是一种速率,一般用,R,(,t,)表示;,若时间,t,以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的,单位为:元/年.(时间,t,一般从现在开始计算).若,R,(,t,)=,b,为常数,则称该收益流具有,均匀收益流量,.,将来值：,现在一定量的资金在未来某一时点上的价值,现值：,将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，,俗称“本金”,例如：,假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.,22,收益流量实际上是一种速率,一般用 R(t,和单笔款项一样,收益流的将来值,定义为将其存入,银行并加上利息之后的本利和;而,收益流的现值,是这,样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流,中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同的,价值.,在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利,率,r,计息,.,23,和单笔款项一样,收益流的将来值定,若有一笔收益流的收益流量为,R,(,t,),(元/年),下面计,算其现值及将来值,.,考虑从现在开始(,t,=0)到,T,年后这一时间段,.利用元,素法,在区间,0,T,内,任取一小区间,t,t,+,dt,在该小,区间内将,R,(,t,),近似看作常数,则应获得的金额近似等,于,R,(,t,),dt,(元).,从现在(,t,=0,)算起,R,(,t,),dt,这一金额是在,t,年后的将,来而获得,因此在,t,t,+,dt,内,从而，总现值为,收益的现值,24,若有一笔收益流的收益流量为 R(t),在计算将来值时,收入,R,(,t,),dt,在以后的(,T,t,)年内获,息,故在,t,t,+,dt,内,例8,假设以年连续复利率,r,=0.1,计息,(1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现,值和将来值;,(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系,.,解,(1),从而，将来值为,收益流的将来值,25,在计算将来值时,收入 R(t)dt,(2)显然,若在,t,=0 时刻以现值 作为一笔款项存,入银行,以年连续复利率,r,=0.1计息,则20年中这笔单,独款项的将来值为,而这正好是上述收益流在20年期间的将来值,.,26,(2)显然,例9,某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为30万元，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资,解,设,T,年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有,即,解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资,27,例9 某公司投资100万元建成1条生产线，并于1年后取得,作业：P267:1,3,8,(注：e,-0.9,=0.4066),周三、五复习第六章,28,作业：P267:1,3,8(注：e-0.9=0.406,一般来说,以年连续复利率,r,计息,则在从现在起到,T,年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为,单笔款项存入银行,T,年后的将来值.,例1,设有一项计划现在(,t,=0,)需要投入 1000 万元,在,10,年中每年收益为,200,万元.若连续利率为,5%,求,收益资本价值,W,.(设购置的设备10年后完全失去价值),解,资本价值=收益流的现值,投入资金的现值,29,一般来说,以年连续复利率 r 计息,例2,某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率,(注:内部利率,是使收益价值等于成本的利率).,解,由收益流的现值等于成本,得,可用近似计算得,30,例2 某企业一项为期10年的投资需购,设有一笔数量为,A,0,元的资金存入银行，若年利率为,r,，按复利方式每年计息一次，则该笔资金,t,年后的本利和为,1.连续复利概念,如果每年分,n,次计息，每期利率为,r/n,，则,t,年后的本利和为,当,n,无限增大时，由于，故,三、收益流的现值与未来值,31,设有一笔数量为A0元的资金存入银行，若年利率为r，按,称为,t,年末的,A,t,元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式,为,A,0,元的现值(即现在价值)在连续复利方式下折,算为t年后的未来值(将来价值)的计算公式,建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的资金进行比较，以便进行投资决策,32,称为t年末的A t元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公,