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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二节 线性变换与矩阵运算,第1页,第1页,第2页,第2页,第3页,第3页,1.,线性变换基本性质,(1),定理,1:,设,t,k,是实数，则,A(tX,1,)=_,；,AX,1,+AX,2,=_,；,A(tX,1,+kX,2,)=_.,t(AX,1,),A(X,1,+X,2,),tAX,1,+kAX,2,第4页,第4页,(2),定理,2,：可逆线性变换含有下列性质,将直线变成,_,；,将线段变成,_,；,将平行四边形变成,_.,直线,线段,平行四边形,第5页,第5页,2.,复合变换与矩阵乘法,(1),复合变换：普通地，设,A,，,B,是平面上两个变换，将平面,上每个点,P,先用变换,A,变到,P,，再用变换,B,将,P,变到,P,，则从,P,到,P,也是平面上一个变换，称为,A,，,B,复合变换，也称为,B,与,A,乘积，记作,_.,BA,第6页,第6页,(2),矩阵乘法法则：对任意两个,22,矩阵,A=,和,B=,，要求它们乘积,BA=,矩阵乘法不满足,_,律与,_,律，满足,_,律,.,(3),变换乘法与矩阵乘法都不满足,_.,互换,消去,结合,互换律,第7页,第7页,纯量矩阵,零矩阵,单位方阵,对角阵,_,_,_,_,(4),特殊矩阵,第8页,第8页,【,即时应用,】,(1),思考：矩阵乘法与实数乘法是否完全相同？,提醒：,不完全相同,.,矩阵乘法与实数乘法相比较，最主要差别是，矩阵乘法不满足互换律和消去律,.,第9页,第9页,(2),已知梯形,ABCD,其中,A(0,0),B(3,0),C(1,2),D(2,2),先将梯形作关于,x,轴反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转,90,则连续两次变换所相应变换矩阵,M,=_,它几何意义是,_.,【,解析,】,由条件得,这个复合变换几何意义表示将原图形沿直线,y=x,翻折变换,.,答案：,表示将原图形沿直线,y=x,翻折变换,第10页,第10页,(3)=_.,【,解析,】,答案：,第11页,第11页,(4),设 若,AB,BA,，则,k,值为,_.,【,解析,】,由,AB,BA,，得,k,3.,答案：,3,第12页,第12页,3.,逆变换与逆矩阵,(1),若矩阵,A,，,B,满足,_,则称,A,，,B,是可逆矩阵，,B,是,A,逆，记为,B=_,，反过来,A=_.,(2),定理,1,：设,A=,记,=ad-bc,则,A,可逆充足必要条件是,_,；,AB=BA=E,A,-1,B,-1,0,第13页,第13页,当,0,时，,A,-1,=ad-bc,称为矩阵,A,行列式，,记作,且,=_.,矩阵,A,行列式记作,|A|,，也记,作,detA.,(3),定理,2:,假如,_,，则,AB,可逆，且,(AB),-1,=_.,4.,逆矩阵与二元一次方程组,记 若,A,可逆，则方程,AX=B,解,X=_.,ad-bc,A,B,都可逆,A,-1,B,B,-1,A,-1,第14页,第14页,【,即时应用,】,依据变换几何意义，矩阵,A=,逆矩阵为,_.,【,解析,】,矩阵,A,表示变换是绕原点逆时针旋转 ，其逆变换,是绕原点逆时针旋转,-,，它矩阵就是所求逆矩阵，即,第15页,第15页,答案：,第16页,第16页,热点考向,1,矩阵乘法及其应用,【,办法点睛,】,关于矩阵乘法运算注意问题,(1),矩阵乘法要严格按照乘法法则进行，尤其注意位置相应要准确,.,(2),对于某一向量进行多次矩阵变换时，通常先进行矩阵乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量乘法运算求向量,.,第17页,第17页,【,例,1】,已知矩阵,A=,，向量 求向量 ，使得,【,解题指南,】,本题是已知向量 进行两次矩阵变换,A,后,变为向量,故先进行矩阵乘法,得,A,2,再利用待定系数法求向量,.,第18页,第18页,【,规范解答,】,因 故设,=,由,得：,第19页,第19页,【,反思,感悟,】,1.,解答本题关键是计算,A,2,.,2.,矩阵乘法是矩阵基本运算，在解题中作为基础工具广泛应用于矩阵相关知识中,.,第20页,第20页,【,变式训练,】,若 试求,x,值,.,【,解析,】,3x=1,第21页,第21页,【,变式备选,】,设数列,a,n,、,b,n,满足,a,n,1,2a,n,3b,n,，,b,n,1,2b,n,，且满足,求二阶矩阵,M.,【,解析,】,依题设有,令,A,，则,M,A,4,，,第22页,第22页,热点考向,2,矩阵乘法与线性变换,【,办法点睛,】,1.,矩阵乘法与复合变换,矩阵,MN,相应变换是一个复合变换，变换顺序是先进行右边矩阵,N,相应变换，再进行左边矩阵,M,相应变换，注意变换顺序不能颠倒,.,2.,矩阵乘法在线性变换中应用,当对曲线连续进行变换时，能够先进行矩阵乘法运算，从而简化变换过程,.,第23页,第23页,【,例,2】,(,莆田模拟,),直线,l,1,:x=-4,先通过矩阵,A=,作,用，再通过矩阵,B=,作用，变为直线,l,2,:2x-y=4,，求矩阵,A.,【,解题指南,】,本题已知变换前后直线,l,1,、,l,2,，矩阵,B,，故可先表,示出,BA,，再利用待定系数法列方程组求,m,，,n.,第24页,第24页,【,规范解答,】,设,C=BA=,则直线,l,1,上点,(x,y),经矩,阵,C,变换为直线,l,2,上点,(x,y),，则,x=(n+4)x+(m-4)y,y=-nx+4y,，代入,2x-y=4,，得,(3n+8)x+(2m-12)y=4,与,l,1,:x=-4,比较系数得，,m=6,n=-3,A=,第25页,第25页,【,互动探究,】,本题若先通过矩阵,B,作用，再通过矩阵,A,作用，其它条件不变，试求矩阵,A.,【,解析,】,设,C=AB=,则直线,l,1,上点,(x,y),通过矩阵,C,变换，变为直线,l,2,上点,(x,y),，,则,第26页,第26页,代入,2x-y=4,，得,2,4x+(4-m)y,-,nx+(n+4),y,=4,，,即,(8-n)x+(4-2m-n)y=4,，,与,l,1,：,x=-4,比较系数得：,解得,:n=9,，,第27页,第27页,【,反思,感悟,】,1.,矩阵乘法不满足互换律即,ABBA.,2.,若已知变换前后曲线方程，求变换矩阵，普通求出变换前或后曲线方程，再比较系数列方程组求解,.,第28页,第28页,热点考向,3,逆矩阵求法及其应用,【,办法点睛,】,1.,逆矩阵求法,(1),定义法：利用,AA,-1,=E,待定系数法求,A,-1,；,(2),行列式法：利用公式,A,-1,=,第29页,第29页,(3),逆变换法：找出矩阵,A,相应变换逆变换，从变换角度求,A,-1,.,2.,逆矩阵在线性变换中应用,逆矩阵作为矩阵在线性变换中能够对曲线进行变换，而逆矩阵又相应特殊变换,逆变换，因此注意逆变换在解题中应用,.,第30页,第30页,【,例,3】,(,福建高考,),设曲线,2x,2,+2xy+y,2,=1,在矩阵,A=,(a,0),相应变换作用下得到曲线为,x,2,+y,2,=1,(1),求实数,a,b,值,.,(2),求,A,2,逆矩阵,第31页,第31页,【,规范解答,】,(1),设曲线,2x,2,+2xy+y,2,=1,上任一点,P(x,y),在矩阵,A,相应变换下象是,P(x,y),，,则 得,又点,P(x,y),在,x,2,+y,2,=1,上，,因此,x,2,+y,2,=1,即,a,2,x,2,+(bx+y),2,=1.,整理得,(a,2,+b,2,)x,2,+2bxy+y,2,=1.,依题意得,第32页,第32页,解得 或,由于,a,0,，因此,(2),由,(1),知，,A=,A,2,=,因此,|A,2,|=1,(A,2,),-1,=.,第33页,第33页,【,变式训练,】,已知矩阵,A=,将直线,l,：,x+y-1=0,变换成直线,l,.,(1),求直线,l,方程；,(2),判断矩阵,A,是否可逆？若可逆，求出矩阵,A,逆矩阵,A,-1,；若不可逆，请阐明理由,.,第34页,第34页,【,解析,】,(1),在直线,l,上任取一点,P(x,0,y,0,),，设它在矩阵,A=,相应变换作用下变为,Q(x,y).,，即,又点,P(x,0,y,0,),在直线,l,:x+y-1=0,上,即直线,l,方程为,4x+y-7=0.,第35页,第35页,(2)0,矩阵,A,可逆,.,设,第36页,第36页,
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