资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/1/24,#,2024/11/15,1,目录 上页 下页 结束,幂级数的应用十分广泛,例如可用于近似计算,表示非初等函数,解微分方程等。前面我们看到,幂级数的一般项形式简单,便于进行微分、积分运算,将函数写成幂级数形式便于进行数值分析、计算等。,第五节,函数幂级数展开式的应用,第十一章,一、近似计算,二、欧拉公式,本节介绍:,2023/9/201 目录 上页 下页 结束,2024/11/15,2,一、近似计算,(,仅讲例,1,3,5),例,1.,计算,的近似值,精确到,解,:,目录 上页 下页 结束,2023/9/202一、近似计算(仅讲例1,3,5)例1.,2024/11/15,3,例,3.,利用,求,误差,.,解,:,先把角度化为弧度,(,弧度,),误差不超过,的近似值,并估计,目录 上页 下页 结束,2023/9/203例3.利用求误差.解:先把角度化,2024/11/15,4,例,5.,计算积分,的近似值,精确到,解,:,由于,故所给积分不是广义积分,.,若定义被积函数在,x,=0,处的值为,1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式,:,目录 上页 下页 结束,2023/9/204例5.计算积分的近似值,精确到解:,2024/11/15,5,二、欧拉,(Euler),公式,则称,收敛,且其和为,绝对收敛,收敛,.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称,绝对收敛,.,由于,故知,目录 上页 下页 结束,2023/9/205二、欧拉(Euler)公式则称 收敛,2024/11/15,6,定义,:,复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛,.,当,y=,0,时,它与实指数函数,当,x,=0,时,的幂级数展式一致,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/206定义:复变量的指数函数为易证它在整个复,2024/11/15,7,(欧拉公式),(也称欧拉公式),利用欧拉公式可得,复数的指数形式,则,目录 上页 下页 结束,2023/9/207(欧拉公式)(也称欧拉公式)利用欧拉公式,2024/11/15,8,据此可得,(,德莫弗公式,),利用幂级数的乘法,不难验证,特别有,目录 上页 下页 结束,2023/9/208据此可得(德莫弗公式)利用幂级数的乘法,2024/11/15,9,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,第七节,傅里叶级数,目录 上页 下页 结束,2023/9/209一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函,2024/11/15,10,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单,的周期运动,:,(,谐波函数,),(,A,为,振幅,复杂,的周期运动,:,令,得函数项级数,为,角频率,为,初相,),(,谐波迭加,),称上述形式的级数为,三角级数,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/2010一、三角级数及三角函数系的正交性简单的,2024/11/15,11,证,:,同理可证,:,正交,上的积分等于,0.,即其中任意两个不同的函数之积在,目录 上页 下页 结束,定理,1.,三角级数的函数系,2023/9/2011证:同理可证:正交,上的积分等于,2024/11/15,12,上的积分不等于,0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,目录 上页 下页 结束,2023/9/2012上的积分不等于 0.且有 但是在三角,2024/11/15,13,二、,函数展开成傅里叶级数,定理,2.,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,证,:,由定理条件,对在,逐项积分,得,目录 上页 下页 结束,2023/9/2013二、函数展开成傅里叶级数定理 2.,2024/11/15,14,(,利用正交性,),类似地,用,sin,k x,乘,式两边,再逐项积分可得,目录 上页 下页 结束,2023/9/2014(利用正交性)类似地,用 sin k,2024/11/15,15,叶系数为系数的三角级数,称为,的,傅,里,叶系数,;,由公式,确定的,以,的傅,里,的,傅,里,叶级数,.,称为函数,目录 上页 下页 结束,2023/9/2015叶系数为系数的三角级数 称为的傅里,2024/11/15,16,定理,3(,收敛定理,展开定理,),设,f,(,x,),是周期为,2,的,周期函数,并满足,狄利克雷,(Dirichlet),条件,:,1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,;,2),在一个周期内只有有限个极值点,则,f,(,x,),的傅,里,叶级数收敛,且有,x,为间断点,其中,(,证明略,),为,f,(,x,),的傅,里,叶系数,.,x,为连续点,注意,:,函数展成傅,里,叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/2016定理3(收敛定理,展开定理)设 f,2024/11/15,17,例,1.,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,上的表达式为,解,:,先求傅,里,叶系数,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/2017例1.设 f(x)是周期为 2,2024/11/15,18,目录 上页 下页 结束,2023/9/2018 目录 上页 下页 结束,2024/11/15,19,1),根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2),傅氏级数的部分和逼近,说明,:,f,(,x,),的情况见右图,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/20191)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2024/11/15,20,例,2.,上的表达式为,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,解,:,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,目录 上页 下页 结束,2023/9/2020例2.上的表达式为将 f(x)展成,2024/11/15,21,说明,:,当,时,级数收敛于,目录 上页 下页 结束,2023/9/2021说明:当时,级数收敛于 目录,2024/11/15,22,周期延拓,傅,里,叶展开,上的傅,里,叶级数,定义在,上的函数,f,(,x,),的傅氏级数展开法,其它,目录 上页 下页 结束,2023/9/2022周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在,2024/11/15,23,例,3.,将函数,级数,.,则,解,:,将,f,(,x,),延拓成以,展成傅,里,叶,2,为,周期,的函数,F(x,),目录 上页 下页 结束,2023/9/2023例3.将函数级数.则解:将 f,2024/11/15,24,利用此展式可求出几个特殊的级数的和,.,当,x=,0,时,f,(0)=0,得,说明,:,目录 上页 下页 结束,2023/9/2024利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当,2024/11/15,25,设,已知,又,目录 上页 下页 结束,2023/9/2025设已知又 目录 上页 下页,2024/11/15,26,三、正弦级数和余弦级数,1.,周期为,2,的,奇、偶函数的傅里叶级数,定理,4.,对周期为,2,的,奇函数,f,(,x,),其傅里叶,级数为,周期为,2,的,偶函数,f,(,x,),其傅里叶级数为,余弦级数,它的傅,里,叶系数为,正弦级数,它的傅,里,叶系数为,目录 上页 下页 结束,2023/9/2026三、正弦级数和余弦级数1.周期为2,2024/11/15,27,例,4.,设,的,表达式为,f,(,x,),x,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,是,周期为,2,的周期函数,它在,解,:,若不计,周期为,2,的奇函数,因此,目录 上页 下页 结束,2023/9/2027例4.设的表达式为 f(x)x,2024/11/15,28,n,1,根据收敛定理可得,f,(,x,),的正弦级数,:,级数的部分和,n,2,n,3,n,4,逼近,f,(,x,),的情况见右图,.,n,5,目录 上页 下页 结束,2023/9/2028n1根据收敛定理可得 f(x)的,2024/11/15,29,例,5.,将周期函数,展成傅里叶级数,其,中,E,为正常数,.,解,:,是周期为,2,的,周期偶函数,因此,目录 上页 下页 结束,2023/9/2029例5.将周期函数展成傅里叶级数,其,2024/11/15,30,2.,在,0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,),在,0,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,),在,0,上展成,目录 上页 下页 结束,2023/9/20302.在0,上的函数展成正弦级数,2024/11/15,31,例,6.,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数,.,解,:,先,求正弦级数,.,去掉端点,将,f,(,x,),作奇周期延拓,目录 上页 下页 结束,2023/9/2031例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级,2024/11/15,32,注意,:,在端点,x,=0,级数的和为,0,与给定函数,因此得,f,(,x,)=,x,+1,的值不同,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/2032注意:在端点 x=0,级,2024/11/15,33,再求余弦级数,.,将,则有,作偶周期延拓,目录 上页 下页 结束,2023/9/2033再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,2024/11/15,34,说明,:,令,x,=0,可得,即,目录 上页 下页 结束,2023/9/2034说明:令 x=0 可得即 目录,2024/11/15,35,内容小结,1.,周期为,2,的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意,:,若,为间断点,则级数收敛于,目录 上页 下页 结束,2023/9/2035内容小结1.周期为 2 的函数的傅,2024/11/15,36,2.,周期为,2,的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.,在,0,上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.,在,0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗,?,答,:,不唯一,延拓方式不同级数就不同,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,2023/9/20362.周期为 2 的奇、偶函数的傅里,2024/11/15,37,处收敛于,2.,则它的傅,里,叶级数在,在,处收敛于,.,提示,:,设周期函数在一个周期内的表达式为,目录 上页 下页 结束,2023/9/2037处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛,2024/11/15,38,备用题,1,.,叶级数展式为,则其中系,提示,:,利用“偶倍奇零”,(93,考研,),的傅里,目录 上页 下页 结束,2023/9/2038备用题 1.叶级数展式为则其中系提示,2024/11/15,39,2.,设,是以,2,为周期的函数,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示,:,令,目录 上页 下页 结束,2023/9/20392.设是以 2 为周期的函数,其,2024/11/15,40,傅里叶,(1768 1830),法国数学家,.,他的著作,热的解析,理论,(1822),是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分,.,最卓越的工具,.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响,.,目录 上页 下页 结束,2023/9/2040傅里叶(1768 1830)法国,2024/11/15,41,狄利克雷,(18 05 1859),德国数学家,.,对数论,数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家,.,函数,f,(,x,),的傅里叶级数收敛的第一个充分条件,;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例
展开阅读全文