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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 微分方程主要内容,第八章 微分方程主要内容,一、一阶微分方程,1,、可分离变量的一阶微分方程,变量分离，得,积分得,化简整理。,方法：,一、一阶微分方程1、可分离变量的一阶微分方程变量分离，得积分,例,两端积分，得,即,两边取指数运算，得通解为,解,分离变量，得,例两端积分，得 即 两边取指数运算，得通解为 解 分离变量,2,、齐次微分方程,令,代入方程得,此为变量可分离的方程。,一、一阶微分方程,方法：,2、齐次微分方程令代入方程得 此为变量可分离的方程。一、一阶,解,原方程可写为,令 ，则,，,原方程可化为,分离变量，得,例：,积分，得,通解为,解 原方程可写为 令 ，则 ，原方程,3,、一阶线性微分方程,方法：,公式法,一、一阶微分方程,例,3、一阶线性微分方程方法：公式法 一、一阶微分方程例,解,将方程改写成,则,利用通解公式得,解 将方程改写成则 利用通解公式得,1,、右端仅含 的二阶微分方程：,方法,：积分一次，化为一阶方程,再积分一次，便得通解,其中 为任意常数,.,二、可降阶的二阶微分方程,1、右端仅含 的二阶微分方程：,例,求微分方程 的通解,.,解,积分一次，得,再积分一次,得,其中 为任意常数,.,例 求微分方程 的通解.,2,、右端不显含 的二阶微分方程：,方法,：作变量代换：,例,求方程 的通解,.,解,令,则 ，代入原方程,得,二、可降阶的二阶微分方程,2、右端不显含 的二阶微分方程：方法,分离变量，得,两端积分，得,即,两端再积分，得,为任意常数,分离变量，得两端积分，得 即 两端再积分，得为任意常数,方法,：作代换,3,、右端不显含 的二阶微分方程：,二、可降阶的二阶微分方程,方法：作代换3、右端不显含 的二阶微分方程：,例,求微分方程 的通解,.,解,令,则,代入原方程,得,两端积分，得,两端再积分得 便是通解,.,当 时,分离变量，得,例 求微分方程 的通,其中 为常数,方法,：特征方程法,三、二阶常系数线性微分方程,1,、二阶常系数线性齐次微分方程,根据微分方程写出其特征方程,分三种情况：,其中 为常数 方法：特征方程法三、二阶常系数线,（,1,）方程有两个不等的实根,微分方程的通解为,（,2,）方程有两个相等的实根,微分方程的通解为,（,3,）方程有一对共轭根,微分方程的通解为,（1）方程有两个不等的实根微分方程的通解为（2）方程有两个,例,求下列方程的通解,.,（,1,）,（,3,）,（,2,）,例 求下列方程的通解.（1）（3）（2）,解,（,1,）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,解（1）此方程的特征方程为 其根为因此原微分通解为,解（,2,）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,解（2）此方程的特征方程为 其根为因此原微分通解为,解（,3,）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,解（3）此方程的特征方程为 其根为因此原微分通解为,其中 为常数,方法,：非齐次方程的通解等于对应齐次方,程的通解加上其本身的一个特解。,三、二阶常系数线性微分方程,2,、二阶常系数线性非齐次微分方程,其特解形式为：,其中 为常数 方法：非齐次方程的通解等于对应齐,（,1,）,若 不是特征方程,的根时,（,2,）,若 是特征方程,的,单根,时,（,3,）,若 是特征方程,的,重根,时,（1）若 不是特征方程 的根时,（2）若 是,例,2,求下列微分方程的通解,.,解,先求,方程 的通解,.,特征方程 的重根为,因此对应,齐次方程的通解为,再求,其本身的一个特解,.,例 2 求下列微分方程的通解.解 先求方程,因 ，故 ，而 不是上述,对应特征方程的根，故应设,代入原方程，化简，比较同次幂的系数，得,解方程组，得,，,于是,原方程的通解为,因 ，故,
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