小学四年级奥数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学四年级奥数教程,第一讲 高斯求和,高斯的故事,德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约,10,岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把,1,到,100,的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：,5050,。这正是正确的答案。老师吃了一惊！,1,100,2,99,3,98,49,52,50,51,。,1,100,正好可以分成这样的,50,对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：,（,1+100,）,100,2,5050,。,高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于,“,等差数列,”,的求和问题。,若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：,（,1,）,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,，,100,；,（,2,）,1,，,3,，,5,，,7,，,9,，,，,99,；,（,3,）,8,，,15,，,22,，,29,，,36,，,，,71,。,其中（,1,）是首项为,1,，末项为,100,，公差为,1,的等差数列；（,2,）是首项为,1,，末项为,99,，公差为,2,的等差数列；（,3,）是首项为,8,，末项为,71,，公差为,7,的等差数列。,由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和,=,（首项,+,末项）,项数,2,。,根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：项数,=,（末项,-,首项）,公差,+1,末项,=,首项,+,公差,（项数,-1,）,首项,=,末项,-,公差,（项数,-1,）,例1：,1234,5,1920？,2468,4850？,分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第题的首项是1，末项是20，共有20个数。而第题的首项是2，末项是50，共有25个数。由等差数列求和公式可得：,1234,5,1920,（1,20）,20,2,21,20,2,210,2468,4850,（2,50）,25,2,52,25,2,650,注意：,利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。,练一练：,计算,1234,5,4950的和,解：原式,（,1,50）,50,2,51,50,2,1275,计算1357,9799的和,解：原式,（,1,99）,50,2,100,50,2,2500,第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，第一,四十行一共放了,多少颗糖？,1234,5,40,（,1,40）,40,2,41,40,2,820（颗）,例2：,求581114,2932的和,分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据项数,（末项首项）,公差1，这个等差数列的项数是（32,5）,3,1,10。,解：（32,5）,3,1,27,3,1,9,1,10,581114,2932,（532）,10,2,37,10,2,185,练一练：,计算37,11,4347的和,解,：（47,3),4,1,44,4,1,11,1,12,37,11,4347,(347),12,2,50,12,2,600,2,300,练一练：,计算510,15,9095100的和,解,：（100,5),5,1,95,5,1,19,1,20,510,15,9095100,(5100),20,2,105,20,2,2100,2,1050,练一练：,美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？,（25,5),2,1,20,2,1,10,1,11,(525),11,2,30,11,2,330,2,165,例3：,有一列数按如下规律排列：10、17、24、31,这列数中前80个数的和是多少？,分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项=首项+公差,（项数-1），这个等差数列的末项是10,7,（801）563。,解：10,7,（801）,10,7,79,10,553,563,（10563）,80,2,573,80,2,22920,练一练：,有一列数按如下规,律排列：5、9、13、17,这列数中前24个数的和是多少？,5,4,（241）,5,4,23,5,92,97,（597）,24,2,102,24,2,1224,练一练：,小明练习写毛笔字，第一天写,了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少个,毛笔字？,8,3,（301）,8,3,29,8,87,95,（895）,30,2,103,30,2,1545,练一练：,有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共有多少根,？,33,1,（151）,33,1,14,33,14,47,（3347）,15,2,80,15,2,600,例4,：,（,246,2012）（135,2011）,分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得1，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得1,以此类推。,解法一：（20122）,2,1,2010,2,1,1005,1,1006,（,246,2012）（135,2011）,（22012）,1006,2（12011）,1006,2,2014,1006,22012,1006,2,10130421012036,1006,解法二：,（,246,2012）（135,2011）,（21）,（43）,（20122011）,1,1006,1006,练一练：,（7911,25）（579,23）,解法一：（257）,21,18,2,1,9,1,10,（,7911,25）（579,23）,（725）,10,2（523）,10,2,32,10,228,10,2,160140,20,解法二：,（,7911,25）（579,23）,（75）,（97）,（2523）,2,10,20,练一练：,123,4,56,789,585960,分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为3的倍数，共有60,320（个）,123,4,56,789,585960,（160）,60,2（360）,20,2,2,61,60,263,20,2,2,18301260,570,例4：,求所有加6以后被11整除的三位数的和。,分析：解决这道题，首先应弄清楚,“,加6以后被11整除的三位数,”,是哪些数。,“,加6以后被11整除的三位数,”,，换一个说法，也就是,“,被11除余5的三位数。,在这些数中最小的三位数是104，最大的三位数是995，而且相邻两数都相差11。即这些三位数依次是104、115、126、,995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是104，末项是995，公差是11。,解：项数,（995,104）,111,891,111,811,82,总和,（104995）,82,2,1099,82,2,45059,练一练：,100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？,分析：100以内,“,加5后是6的倍数的数,”,，换一个说法，也就是,“,被6除余1的数。,在这些数中最小的是1，最大的是91，而且相邻两数都相差6。即这些数依次是1、7、13、,91。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1，末项是91，公差是6。,解：项数,（91,1）,61,90,61,151,16,总和,（191）,16,2,92,16,2,736,练一练：,在1,400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？,分析：,1,400中，所有,“,不是9的倍数的数的和,”,，可以先求出1,400各数的和，再去掉所有9的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有9的倍数的数中，最小的是9，最大的是396，,相邻两数都相差9。即这些数依次是9、18、27、,396。显然，它们成等差数列。项数是（,3969）,9,1,44,（,12,3,400）,（,918,27,396）,（,1400）,400,2,（9,396）,44,2,401,400,2,405,44,2,80200,8910,71290,练一练：,求所有被7,除余数是1的三位数的和,是多少？,分析：在,被7,除余数是1的三位数中，最小的是106，最大的是995，而且相邻两数都相差7。即这些数依次是106、113、120、,995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是106，末项是995，公差是7。,解：项数,（995,106）,71,889,71,1271,128,总和,（106955）,128,2,1101,128,2,70464,