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第,5,章,三角函数,5.5.1,两,角和与差的正弦、余弦和正切公式,人教,A,版,2019,高中数学必修第一册,终边,终边,-,终边,第5章 三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公,两角差的余弦公式,【,探究,】,如果已知任意角,，,的正弦、余弦，能由此推出,+,，,-,的正余弦吗？,【,分析,】,如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，,以 轴非负半轴为始边作角,、,，,-,，它们的,终边分别与单位圆相交于点,连接 ，,.,若把扇形 绕着点 旋转,角，则,点,A,、,P,分别与点 重合,.,根据圆的旋转对称性可知，,与 重合，从而,=,，所以,=,终边,终边,-,终边,根据两点间距离公式，得到等式：,化简得,两角差的余弦公式【探究】如果已知任意角，的正弦、余弦，能,两角差的余弦公式,【,探究,】,由此我们得到了,当 时，容易证明上式依然成立,.,所以，对于任意角,，,，都有,终边,终边,-,终边,此公式给出了任意角,、,的正弦、余弦和其差角,-,的余弦之间的关系，称为,差角的余弦公式，记为,由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出,的值,.,另外，式中的角,，,都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如：,两角差的余弦公式【探究】由此我们得到了当,【,例,1】,利用公式 证明,【,证明,】,【例1】利用公式 证明【证明】,【,例,2】,已知,是第三象限角，求 的值,.,【,解,】,由 ，得,又由 ，,是第三象限角，得,所以,【例2】已知,两角和的余弦公式,【,推导,】,我们以 为基础，推导出其他公式,.,这样就可以得到两角和的余弦公式，即,也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和,.,与两角差的余弦公式相比较下,余余正正,符号相反,两角和的余弦公式【推导】我们以 为基础,两角和与差的正弦公式,【1】,由诱导公式五：，可得：,两角和与差的正弦公式【1】由诱导公式五：,两角和与差的正弦公式,【2】,由诱导公式六：，可得：,即,正余余正,符号相同,两角和与差的正弦公式【2】由诱导公式六：,两角和与差的正切公式,根据推导经验，有,在上式中，用,-,替换,，得到,即,分子同相加，,1,减他们俩,分子同相减，,1,加他们俩,式中的,、,、,+,可以是任意值吗？,两角和与差的正切公式根据推导经验，有在上式中，用-替换,六个公式之间的关系和推导,【,和角公式,】,【,差角公式,】,以,-,替换,以,-,替换,作 商,作 商,以,-,替换,当,=,时，有：,六个公式之间的关系和推导【和角公式】【差角公式】以,【,例,3】,已知,是第四象限角，求 的值,.,【,解,】,由,是第四象限角，得,则,【例3】已知 是第四象限,【,例,4】,利用和,(,差,),角公式计算下列各式的值,.,【,解,】,(1),由公式,S,(+),，得,(2),由公式,C,(+),，得,(3),由,tan45=1,及公式,T,(+),，得,【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.【解】(1)由公,二倍角的正弦、余弦、正切公式,【,推导,】,利用,S,(),，,C,(),，,T,(),，可以推导出,sin2,，,cos2,，,tan2,的公式,当,=,时，,当,=,时，,当,=,时，,这样我们就得到了二倍角公式：,在 中，结合公式 ，得到,二倍角的正弦、余弦、正切公式【推导】利用S()，C(,【,例,5】,已知 ，求 的值,.,【,解,】,由 ，得,【,例,6】,已知 ，求 的值,.,【,解,】,由 ，即,化简得,所以,【例5】已知 ，求,
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