高阶微分方的降阶和幂级数解法ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3高阶,微分方程的降阶和幂级数解法,4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,1,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,若能求得(4.58)的通解,对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解,即,一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式:1 不显,2,解题步骤:,第一步:,第二步,:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式,3,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次,得原方程的通解为,例1,解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得,4,2 不显含自变量t的方程,一般形式:,因为,2 不显含自变量t的方程,一般形式:因为,5,用数学归纳法易得:,将这些表达式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一阶,用数学归纳法易得:将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方,6,解题步骤:,第一步:,第二步,:,求以上方程的通解,第三步:,解方程,即得原方程的通解,解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即,7,解,令,则方程化为,从而可得,及,这两方程的全部解是,例2,再代回原来变量得到,所以得原方程的通解为,解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量,8,3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶,的非零解,令,则,代入(4.69)得,即,3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(4,9,引,入新的未知函数,方程变为,是一阶线性方程,解之得,因而,则,引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则,10,因此(4.69)的,通解,为,因此(4.69)的通解为,11,解题步骤:,第一步:,第二步:,解之得,即,解题步骤:第一步:第二步:解之得即,12,第三步:,第四步:,(4.69)的,通解,为,注,一般求(4.69)的解直接用公式(4.70),第三步:第四步:(4.69)的通解为注一般求(4.69)的,13,解,这里,由(4.70)得,例3,解这里由(4.70)得例3,14,高阶微分方的降阶和幂级数解法ppt课件,15,代入(4.2)得,代入(4.2)得,16,事实上,事实上,17,若,则,即,因此,对(4.67)仿以上做法,若则即因此,对(4.67)仿以上做法,18,高阶微分方的降阶和幂级数解法ppt课件,19,二、二阶线性方程的幂级数解法,对二阶变系数齐线性方程,其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.,下面考虑该方程及初始条件,用级数表示解?,二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,20,定理10,定理10,21,定理11,定理11,22,例4,解,设级数,为方程的解,由初始条件得:,因而,将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得,例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并,23,即,因而,也即,即因而也即,24,故方程的解为,故方程的解为,25,例5,解,将方程改写为,易见,它满足定理11条件,且,例5解将方程改写为易见,它满足定理11条件,且,26,将(4.75)代入(4.74)中,得,将(4.75)代入(4.74)中,得,27,由(4.76)得,即,由(4.76)得即,28,从而可得,从而可得,29,因此(4.77)变为,因此(4.77)变为,30,若取,则可得(4.74)的另一个特解,由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.,若取则可得(4.74)的另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值,31,因而(4.74)的通解为,因此,不能象上面一样求得通解;,因此,(4.74)的通解为,因而(4.74)的通解为因此,不能象上面一样求得通解;因此,32,例6,解,代入方程得,例6解代入方程得,33,代回原来的变量得原方程的通解为,代回原来的变量得原方程的通解为,34,作业,P165,2,5,P165 8,10,作业P165 2,5,35,