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初中数学课件,灿若寒星,*,整理制作,初中数学课件灿若寒星*整理制作,第一章,三角形的证明,4,角平分线,广东学导练 数学 八年级下册 配北师大版,第一章 三角形的证明4 角平分线广东学导练 数学 八,课前预习,1,如图,1-4-1,，,OP,平分,AOB,，,PC,OA,于点,C,，,PD,OB,于点,D,，则,PC,与,PD,的大小关系是（）,A,PC,PD,B,PC,=,PD,C,PC,PD,D,不能确定,2,到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形（）,A,三条中线的交点,B,三条高的交点,C,三条边的垂直平分线的交点,D,三条角平分线的交点,B,D,课前预习1 如图1-4-1，OP平分AOB，BD,3,用尺规作,AOB,的平分线的步骤：,在,OA,和,OB,上分别截取,OD,，,OE,，使,_,；,分别以,_,为圆心，以,_,的长为半径作弧，弧在,AOB,的,_,交于一点,C,；,作,_,，,OC,就是,AOB,的平分线,4,在,Rt,ABC,中,锐角,A,的平分线与锐角,B,的邻补角的平分线相交于点,D,则,ADB,=_.,5.,如图,1-4-2,ABC,中,C,=90,AC,=,BC,AD,平分,BAC,交,BC,于点,D,DEAB,于点,E,且,AB=10 cm,则,DEB,的周长是,_.,OD,=,OE,点,D,，,E,内部,射线,OC,45,10 cm,3 用尺规作AOB的平分线的步骤：OD=OE点D，E,名师导学,新知,1,角平分线的性质定理,定理,角平分线上的点到这个角的两边,的距离相等,注意：,用语言符号表示：如图,1-4-3,，,如果点,P,在,AOB,的平分线上，且,PM,OA,于点,M,，,PN,OB,于点,N,，那么,PM=PN,；,点到直线的距离，即点到直线的垂线,段的长；,角平分线的性质能够证明线段相等或为证三角形全等准备条件,.,名师导学新知 1角平分线的性质定理定理角平分线上的点到,【,例,1】,如图,1-4-4,，已知,OD,平分,AOB,，在,OA,，,OB,边上取,OA,=,OB,，,P,是,OD,上一点，,PM,BD,，,PN,AD,，垂足分别是点,M,，,N,求证：,PM,=,PN,解析,已知,PM,BD,，,PN,AD,，根据角平分线的性质，只要证,3=4,即可,【例1】如图1-4-4，已知OD平分AOB，在OA，OB边,证明,OD,平分,AOB,，,1=2.,在,OBD,和,OAD,中，,OB,=,OA,，,1=2,，,OD,=,OD,，,OBD,OAD,（,SAS,）,.,3=4.,PM,BD,，,PN,AD,，,PM,=,PN,.,证明 OD平分AOB，,举一反三,如图,1-4-5,，在,ABC,中，,CD,是,AB,边上的高，,BE,平分,ABC,，交,CD,于点,E,，,BC,=5,，,DE,=2,，求,BCE,的面积,.,举一反三如图1-4-5，在ABC中，CD是AB边上的高,解：如答图,1-4-1,过点,E,作,EF,BC,于点,F,.,CD,是,AB,边上的高，,DE,AB,.,BE,平分,ABC,，,DE,=,EF,=2.,BC,=5,，,BCE,的面积,=,解：如答图1-4-1,过点E作EFBC于点F.,新知,2,角平分线的性质定理的逆定理,定理,在一个角的内部，且到角的,两边距离相等的点在这个角的平分线上,语言符号：如图1-4-6，若点,P,是,AOB,内一点，,PM,OA,于点,M,，,PN,OB,于,点,N,，且,PM,=,PN,，则点,P,在,AOB,的平分线上.,性质定理及逆定理的关系：,点在角的平分线上点到这个角两边的距,离相等.因此角平分线的性质定理的逆定理也是角平分线的判定定理，可以证明两角相等.,新知 2角平分线的性质定理的逆定理定理在一个角的内部，,【,例,2】,如图,1-4-7,，,PA,ON,于点,A,，,PB,OM,于点,B,，且,PA,=,PB,，,MON,=50,，,OPC,=30,，求,PCA,的大小,.,解析,根据图形可知,PCA,=,OPC,+,POC,，所以关键是找,AOP,与,POB,的关系，由,PA,=,PB,可知,AOP,=,POB,.,解,PA,ON,，,PB,OM,，,PA,=,PB,，,AOP,=,POB,.,又,MON,=50,，,POC,=25.,PCA,=,POC,+,OPC,=25+30=55.,【例2】如图1-4-7，PAON于点A，,举一反三,如图,1-4-8,BD,AM,于点,D,，,CE,AN,于点,E,，,BD,CE,交于点,F,，,CF,BF,，求证：点,F,在,A,的平分线上,.,举一反三如图1-4-8,BDAM于点D，CEAN于点,证明：如答图,1-4-2,连接,AF,.,BD,AM,CE,AN,FDC,=,FEB,=90.,又,CFD,=,BFE,CF,=,BF,CDF,BFE,(AAS).,FD,=,FE,.,BD,AM,CE,AN,CAF,BAF,.,AF,平分,BAC,即点,F,在,A,的平分线上,.,证明：如答图1-4-2,连接AF.,已知：,AOB,（如图1-4-9）,求作：射线,OC,，使,AOC,=,BOC,.,注意：（1）这个作法是以SSS公,理为基础的,由作法可知：,OD,=,OE,，,EC,=,DC,.,又,OC,=,OC,，,OEC,ODC,.,BOC,=,AOC,.,（2）所作图形是过顶点,O,的射线,OC,，其关键是确定点,C,的位置,新知,3,作已知角的平分线,已知：AOB（如图1-4-9）新知3作已知角的平分线,（,3,）“大于,DE,”,的原因是：如果小于,DE,，两弧,不相交；而等于,DE,时，两弧虽然有一个交点，但难以准确得到,（,4,）点,C,是两弧交于,AOB,内的点，另一交点没有作出，这是因为,O,，,C,两点就可以确定出平分,AOB,的射线,（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧,【,例,3】,如图,1-4-10,，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校，这所学校到公路和铁路的距离相等，并且与两路的交叉点,O,处的距离为,400 m,请在图中标出学校的位置，并说明理由（比例尺,112 500,）,解析,学校到公路和铁路的距离相等，就是指学校在把公路和铁路看作两条直线相交时所成角的平分线上,【例3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校,解,把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在角的平分线上从顶点截出表示实际长,400 m,的线段，即可确定学校的位置，如图,1-4-11,，图中的点,P,即为所求 表示实际长,400 m,的线段为,40 00012 500=3.2 cm,解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在,举一反三,如图,1-4-12,，点,D,在,ABC,的,AB,边上，且,ACD,=,A,.,（,1,）作,BDC,的平分线,DE,，交,BC,于点,E,（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；,（,2,）在（,1,）的条件下，判断直线,DE,与直线,AC,的位置关系（不要求证明）,.,举一反三如图1-4-12，点D在ABC的AB边上，且,解：（,1,）如答图,1-4-3,所示：,（,2,）,DE,AC,解：（1）如答图1-4-3所示：,定理,三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等,注意：,交点只可能在三角形的内部，且到三边的垂线段相等.,新知,4,三角形角平分线交点的性质定理,定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边,【,例,4】,如图,1-4-13,，,O,是,ABC,内一点，且,O,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离,OF,=,OD,=,OE,，若,A,=70,，求,BOC,的度数,解析,要求,BOC,的度数，只要求得,1,和,3,的度数，由,180-1-3,即可得出,BOC,的度数,.,根据题中所给条件，可知,1,2,，,3,4,，又,A,70,，可得出,1+3,，从而求得,BOC,的度数,【例4】如图1-4-13，O是ABC内一点，且O到三边AB,解,OF,AB,，,OD,BC,，且,OF,=,OD,，,BO,平分,ABC,.,1,2.,同理可得,3=4.,解 OFAB，ODBC，且OF=OD，,举一反三,如图,1-4-14,，在,ABC,中，,BD,CE,分别平分,ABC,ACB,，且,BD,CE,交于点,O,，过,O,作,OP,BC,于点,P,，,OM,AB,于点,M,，,ON,AC,于点,N,.,求证：点,O,在,BAC,的平分线上,.,证明：,BD,平分,ABC,OP,BC,，,OM,AB,OP,OM,.,CE,平分,ACB,OP,BC,，,ON,AC,OP,ON,.,OM,ON,.,点,O,在,BAC,的平分线上,.,举一反三如图1-4-14，在ABC中，BD,CE分别平,
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