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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,/30,目录 上页 下页 返回 结束,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第四章,1,无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数,常数项级数的概念和性质,1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理,1.2正项级数的审敛准则,1.3变号级数的审敛准则,第一节,第四章,2,常数项级数的概念和性质 1.1常数项级数的概念、性质与收,1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理,引例1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,3,1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理引例1.用圆内接,引例2.,(神秘的康托尔尘集),把0,1区间三等分,舍弃中,间的开区间,将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃,在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部,分的总长和剩下部分的总长各是多少？,丢弃的各开区间长依次为,故丢弃部分总长,剩余部分总长,剩余部分总长虽然为,0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在,0,1,区间上,人们称其为,康托尔尘集,.,0,1,(此式计算用到后面的例1),4,引例2.(神秘的康托尔尘集)把0,1区间三等分,舍弃,引例3.,小球从 1 m 高处自由落下,每次跳起的高度减,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,(此式计算用到,后面的例1),少一半,5,引例3.小球从 1 m 高处自由落下,每次跳起的高度减问小,定义1.1,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,常数项无穷级数,（,常数项级数,或,级数,）,其中第,n,项,叫做级数的,通项（一般项）,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称,S,为级数的,和,记作,6,定义1.1 给定一个数列将各项依即称上式为常数项无穷级数（常,当级数收敛时,级数的和与部分和的差,称为级数的,余项,.,则称无穷级数,发散,.,显然,7,当级数收敛时,级数的和与部分和的差称为级数的余项.则称无穷,例1.,讨论,等比级数,(又称,几何级数,),(,q,称为,公比,)的敛散性.,解:,1)若,从而,因此,级数收敛,从而,则部分和,因此,级数发散.,其和为,8,例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比),2).若,因此级数发散;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛,;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,9,2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合,例2.,判别下列级数的敛散性:,解:,(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“,拆项相消,”求和,10,例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1),(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“,拆项相消,”求和,注,：,级数收敛,当且仅当它的,部分和数列收敛,这样就将级数的收敛性问题转化为了数列的收敛性问题,11,(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧:利用,例,调和级数,是发散的.在第一章中已经证明过，它的部分和数列,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真.,12,例,调和级数是发散的.在第一章中已经证明过，它的部分和数,例3.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,13,例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为13,无穷级数的基本性质,性质,1.1(1),设有两个收敛级数,则级数,收敛,其和为,证:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,14,无穷级数的基本性质 性质1.1(1)设有两个收敛级数则级,性质1.1(2),若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证:,令,则,这说明,收敛,其和为,c S.,说明:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变.,即,其和为,c S.,15,性质1.1(2)若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所,性质1.1(3),若,则,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1),性质1.1(1),表明收敛级数可逐项相加或相减.,(用反证法可证),16,性质1.1(3)若则说明:(2)若两级数中一个收敛一个发,性质1.2,任意删去、增加或改变,有限项,不改变级数,的敛散性.,证:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,17,性质1.2任意删去、增加或改变有限项,不改变级数的敛散性.,性质1.3,设级数,则,证:,可见:,若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,18,性质1.3设级数则证:可见:若级数的一般项不趋于0,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,19,注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发,性质1.4,对,收敛的级数,，不改变各项次序，,任意加括号,后所得到的级数,仍收敛且级数的和不变,.,证:,设收敛级数,中任意加入括号,便得一新级数：,因此,为原级数部分和数列,从而，新级数收敛，而且有,部分和数列为,在该级数,记它的部分和序列为,则,的一个子列,20,性质1.4 对收敛的级数，不改变各项次序，任意加括号后所得到,推论:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如,，,用反证法可证,21,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛,例4.,判断级数的敛散性:,解:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,22,例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而,例5.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,解,:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,23,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1),因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),24,因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)24,这说明原级数收敛,其和为 3.,(3),25,这说明原级数收敛,其和为 3.(3)25,级数研究的两个基本问题：,一，任给一个级数，判断它的敛散性,二，如果级数收敛，怎么样求出级数的和,求级数的和,有时候比较难，,但可以用部分和来近似.,第二个问题比较难,但第一个问题更重要.,将判断数列收敛的,Cauchy(柯西)原理,转化到级数中,就可以得到如下的判别级数敛散性的基本原理.,26,级数研究的两个基本问题：一，任给一个级数，判断它的敛散性二,的充要条件是:,定理,1.1 (Cauchy,审敛原理),有,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以利用数列,的柯西审敛原理,(第一章,),即得本定理的结论.,27,的充要条件是:定理1.1 (Cauchy审敛原理)有证:,例6.,解:,(1),有,利用,柯西审敛原理,证明:,(1)级数,(2)调和级数,28,例6.解:(1)有利用柯西审敛原理证明:(1)级数(2,当,n,N,时,都有,由,柯西审敛原理,可知,级数,(2)要用柯西审敛原理证明级数,只要证明：,由于,所以，该级数发散,29,当 nN 时,都有由柯西审敛原理可知,级数(2)要用,作业,P253 1,(1),(3)；,2,(2),(3),(4)；,3,(2)；,4,(1),(3),(5);,*,5,(3),(4),30,作业30,
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