离散型随机变量的均值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,（,2,）离散型随机变量分布列的性质：,p,i,0,，,i,1,，,2,，,；,p,1,p,2,p,i,1,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率,.,但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征,.,2.3.1,离散型随机变量的均值,（,1,）理解离散型随机变量均值的概念,;,（,2,）会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题,.,知识与技能,教学目标,过程与方法,（,1,）理解公式“,E,（,a+b,）,=aE+b”,，以及“若,B,（,n,p,），则,E=np”;,（,2,）能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望,.,情感、态度与价值观,承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值,.,教学重难点,重 点,离散型随机变量的均值或期望的概念,.,难 点,根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,.,思考,18,24,36,某商场要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,的三种糖果按,3,：,2,：,1,的比例混合，如何对混合糖果定价才合理？,由于平均每,1kg,的混合糖果中，,3,种糖果的质量分别是,1/2kg,，,1/3kg,和,1/6kg,，所以混合糖果的合理价格应该是,18,(1/2)+24,(1/3)+36,(1/6)=23(,元,/kg).,它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是,1/2,，,1/3,和,1/6.,权是秤锤，权数是起权衡轻重作用的数值,.,加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数,.,如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？,根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为,1/2,，,1/3,，,1/6,，即取出的这颗糖果的价格为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,或,36,元,/kg,的概率分别是,1/2,，,1/3,，,1/6.,用,X,表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型随机变量，其分布列为,X,18,24,36,P,1/2,1/3,1/6,因此权数恰好是随机变量,X,取每种价格的概率,.,1.,均值,一般地，若离散型随机变量,X,的分布列为,知识要点,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,则称,E(X)=x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,i,p,i,+x,n,p,n,为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,.,它反映了离散型随机变量的,平均水平,.,2.E(aX+b)=aE(X)+b,若,Y=aX+b,，其中,a,，,b,为常数，则,Y,也是随机变量,.,因为,P(Y=ax,i,+b)=P(X=x,i,),，,i=1,，,2,，,，,n,，,所以，,Y,的分布列为,X,ax,1,+b,ax,2,+b,ax,i,+b,ax,n,+b,P,p,1,p,2,p,i,p,n,于是,E(Y),=(ax,1,+b)p,1,+(ax,2,+b)p,2,+(ax,i,+b)p,i,+(ax,n,+b)p,n,=a(x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,i,p,i,+x,n,p,n,)+b(p,1,+p,2,+p,i,+p,n,=aE(X)+b,，,即,E(aX+b)=aE(X)+b,例题,1,已知某射手射击所得环数,的分布列如下,4,5,6,7,8,9,10,P,0.02,0.04,0.06,0.09,0.28,0.29,0.22,在,n,次射击之前，可以根据这个分布列估计,n,次射击的平均环数,.,解：,由该射手射击所得环数,的分布列可知,E(,),=40.02+50.04+60.06+70.09+80.28+90.29+100.22,=8.32,所以，可以估计该射手,n,次射击的平均环数为,8.32.,例题,2,随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数,X,的均值,.,x,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：,例题,3,在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分,.,如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？,解：,因为,P(X=1)=0.7,，,P(X=0)=0.3,，所以,E(X)=1P(X=1)+0P(X=0),=10.7+00.3,=0.7,知识要点,2.,两点分布的均值,一般地，如果随机变量服从两点分布，那么,(X)=1p+0(1-p)=p.,于是有,若,X,服从两点分布，则,E(X)=p.,3.,二项分布的均值,如果,XB(n,，,p),，那么由,kC,n,k,=nC,n-1,k-1,，可得,E(X)=kC,n,k,p,k,q,n-k,=npC,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),=npC,n-1,k,p,k,q,n-1-k,=np,于是有,k=0,n,k=1,n,k=0,n-1,若,XB(n,，,p),，则,E(X)=np.,例题,4,一次英语单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得,5,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分,.,学生甲选对任一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个,.,求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值,.,解,:,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是,和,，则,B(20,，,0.9),，,B(20,，,0.25),，,E,200.9,18,，,E,200.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是,5,和,5.,所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5),5E,518,90,，,E(5),5E,55,25,例题,5,某城市出租汽车的起步价为,10,元，行驶路程不超出,4km,时租车费为,10,元，若行驶路程超出,4km,，则按每超出,lkm,加收,2,元计费,(,超出不足,lkm,的部分按,lkm,计,),从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为,15km,某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程,(,这个城市规定，每停车,5,分钟按,lkm,路程计费,),，这个司机一次接送旅客的行车路程,是一个随机变量设他所收租车费为,.,(),求租车费,关于行车路程,的关系式；,(),若随机变量,的分布列为,15,16,17,18,P,0.1,0.5,0.3,0.1,求所收租车费,的数学期望,(),已知某旅客实付租车费,38,元，而出租汽车实际行驶了,15km,，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟,?,解：,(),依题意得,=2(,-4),十,10,，即,=2,+2,；,()E,=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4,=2+2,E=2,E,+2=34.8,（元）,故所收租车费,的数学期望为,34.8,元,(),由,38=2+2,，得,=18,，,5(18-15)=15,所以出租车在途中因故停车累计最多,15,分钟,.,1.,期望的概念,E(X)=x,1,p,1,+x,2,p,2,+x,i,p,i,+x,n,p,n,2.,期望的意义,离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平,.,3.,期望的计算公式,E(aX+b)=aE(X)+b,课堂小结,4.,求离散型随机变量,的期望的基本步骤,（,1,）理解,的意义，写出,可能取的全部值；,（,2,）求,取各个值的概率，写出分布列；,（,3,）根据分布列，由期望的定义求出,E.,5.,两个特殊随机变量的均值,（,1,）二次分布的期望：,E=np,；,（,2,）两点分布的期望：,E=p.,1.,（,2006,年四川卷）设离散性随机变量 可能取的值为,1,，,2,，,3,，,4,，,P(,=k,)=ak+b(k=1,，,2,，,3,，,4),又,的数学期望,E,=3,，则,a+b=_,高考链接,2.,（,2008,年山东卷理,18,）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队,3,人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分,.,假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中,3,人答对的概率分别为 且各人正确与否相互之间没有影响,.,用,表示甲队的总得分,.,（,）求随机变量,分布列和数学期望；,（,）用,A,表示“甲、乙两个队总得分之和等于,3”,这一事件，用,B,表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求,P(AB).,（,I,）由题意知，,的可能取值为,0,，,1,，,2,，,3,，且,所以,的分布列为,0,1,2,3,P,1/27,2/9,4/9,8/27,所以,的数学期望为,（,II,）用,C,表示“甲得,2,分乙得,1,分”这一事件，用,D,表示“甲得,3,分乙得,0,分”这一事件，,AB=CD,，,C,，,D,互斥,.,1.,填空,课堂练习,（,1,）,某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中率为,0.6,，现共有子弹,4,颗，命中后尚剩余子弹数目,的数学期望是,_.,2.376,（,2,）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为,0.9,和,0.85,，设发现目标的雷达台数为,，则,E=_.,1.75,（,1,）,在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：,9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）,A,9.4,，,0.484B,9.4,，,0.016,C,9.5,，,0.04D,9.5,，,0.016,2.,选择,（,2,）口袋中有,5,只相同的球，编号为,1,、,2,、,3,、,4,、,5,，从中任取,3,球，用,表示取出的球的最大号码，则,E=(),A.4 B.4.5 C.4.75 D.5,（,3,）一个袋中装有大小相同的,3,个红球和,2,个黄球，从中同时取出,2,个，则其中含红球个数的均值是,(),A,、,0.4 B,、,1 C,、,1.2 D,、,1.5,3.,解答题,（,1,）,离散型随机变量,X,的概率分布列为,求,X,可能取值的算术平均数 求,X,的均值,解：,X,1,100,P,0.01,0.99,（,2,）若一部机器在一天内发生故障的概率为,0.2,，机器发生故障时全天停止工作。一周,5,个工作日里无故障可获利,10,万元，发生一次故障可获利,5,万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损,2,万元，求一周内平均获利多少元,?(,保留三位有效数字,).,解：,设一周内机器发生故障的次数为，则的分布列为：,0,1,2,3,P(,i,),0.8,5,C,5,1,0.2,0.8,4,C,5,2,0.2,2,0.8,3,1-,0.8,5,-,C,5,1,0.2,0.8,4,-C,5,2,0.2,2,0.8,3,那么，随机变量利润,的分布列为：,10,5,0,-2,P(,i,),0.32768,0.4096,0.2048,0.05792,E=100.32768+50.4096+(2)0.05792,=5.208965.21,（,3,）某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是,:,从装有,9,个白球、,1,个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金,10,元；摸出两个红球可获得奖金,50,元,.,现有甲、乙两位顾客,规定,:,甲摸一次,乙摸两次,.,令,表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，求：,（,1,）,的分布列；,（,2,）,的数学期望,.,(1),的所有可能的取值为,0,，,10,，,20,，,50,，,60.,1.,不一定,.,比如掷一枚硬币，出现正面的次数,X,是随机变量，它取值,0