函数的极值与最值课件

*,纠正作业,P139T1(5),P139T1(7),P139T1(9),1,纠正作业P139T1(5)P139T1(7)P139T1(9,温故知新,1.可导函数单调性判别,2.曲线凹凸的判别,定理1：,定理2：,3.拐点的定义:,注：,拐点是,曲线上,的点,是一对有序的实数.,2,温故知新1.可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别定理1：定理,二、,最大值与最小值问题,一、,函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第,三,章,三、应用举例,3,二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法 第五节函数的极,1.定义:,(1),(2),极大点与极小点统称为,极值点.,问：极值点是连续点吗？,一、函数的极值及其求法,x,y,o,.,。,极大值与极小,值,统称为,极值.,4,1.定义:(1)(2)极大点与极小点统称为极值点.问：,注意：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,是整体的、,唯一的.,是局部的、相对的、,最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的,内点,处取得.,可导,函数,极值点处,的,导数,是,零.,5,注意：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最,2.定理1,(极值必要条件),(费马定理),取得极值,注意：1),可导函数,的,极值点,驻点,如：,即：可导函数的极值点,驻点,2),在,点连续但不可导，,也可能是极值点.,如：,却,是极小值点.,也,不是极值点.,3),极值点的,可疑点：,(在定义域,内,部的),驻点,不可导点.,即：极值点,驻点,不可导点,问：如何能快速的说明一个函数没有极值？,x,y,o,6,2.定理1(极值必要条件)(费马定理)取得极值注意：1)可导,3.定理 2,(第一充分条件，极值第一判别法),内有导数,(1),“,左正右负,”,(2),“,左负右正,”,(3),“,左右符号相同,”,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,说明：,1)定理中的条件,2)该定理适用于：,是驻点或不可导的,连续,点.,x,y,o,.,。,若不连续,也未必是极值点.,7,3.定理 2(第一充分条件，极值第一判别法)内有导数,(1,解：,例1.,极大值,不可导,故,极大值,为：,极小值,为：,极小值,8,解：例1.极大值不可导故极大值为：极小值为：极小值8,求极值的步骤:,(1)求,定义区间，,求导数,(2)求,驻点,以及,不可导的点,(在定义区间,内,),；,(3)检查,在,驻点及不可导点左右的符号，,判断出极值点；,(最好列表),(4)求极值.,求极值的步骤与求单调区间的步骤基本相同.,9,求极值的步骤:(1)求定义区间，求导数(2)求驻点以及不可导,例2.,求函数,解:,1),2),令,得,3)列表判别,是极大点，,其极,大,值为,是极小点，,其极,小,值为,无导数不存在的点.,10,例2.求函数解:1)2)令得3)列表判别是极大点，其极大,4.定理3(极值第二判别法),二阶导数,且,证：,同理可证(2).,由第一判别法知：,注意：,1.第二充分条件适用于:,驻点,需用第一判别法判别.,11,4.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且证：同理可证(,例3.,求函数,解:,1),2),令,得,3),计算,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,12,例3.求函数解:1)2)令得3)计算是极大点，其极大值为是,例4.,求函数,解:,1)求定义域及导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,故需用第一判别法判别.,13,例4.求函数解:1)求定义域及导数2)求驻点令得驻点,试问,为何值时,极值？,解:,由题意应有：,又,取得极大值为：,例5.,并求此极值.,它是极大值还是极小值？,提示：,P163T3,14,试问 为何值时,极值？解:由题意应有：又取得极大值为,观察：,端点的函数值；,驻点的函数值；,不可导点,的函数值.,来自于,二、闭区间上连续函数的最值的求法,结论：,(2),15,观察：端点的函数值；驻点的函数值；不可导点的函数值.来,例1.,求函数,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,不可导点,3)计算最值可疑点处的函数值,是最大点，,其最大值为,是最小点，,其最小值为,16,例1.求函数解:1)求导数2)求极值可疑点不可导点3),例2.,求函数,解:,故函数在,取最小值 0;,取最大值 20.,思考：,17,例2.求函数解:故函数在取最小值 0;取最大值 20.,结论：,思考：,18,结论：思考：18,特别:,当,就是,最,大,(小),值.,常用于解决实际问题.,求,如果在区间 内可导且只有一个极值点,则这个,极,大,(小),值,x,y,o,a,b,x,y,a,b,o,对于实际问题,若在定义区间内有,唯一驻点,且知,最,大(小)值,一定存在,而且一定在定义区间,内部,取得,则可,不必讨论是否为,极值,就可断定该点就是,最大(小)值点.,19,特别:当就是最大(小)值.常用于解决实际问题.求如果在,某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费.试问房租定为多少可获得最大收入？,解：,设房租为每月,每月总收入为：,租出去的房子有：,(唯一驻点),故每月每套租金为1800元时收入最高.,三、应用举例,实际问题求最值的步骤:,(1)建立目标函数;,(2)判断并求最值.,P164T15,例3.,20,某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金,解：,如图,例4.,21,解：如图,例4.21,例5.,求数列,的最大项.,证:,求导得,列表判别:,因此在,处,也取,最,大值.,又因,内只有唯一的,极,大点,P183T14,22,例5.求数列的最大项.证:求导得列表判别:因此在处也取最,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使一阶导数为0 或不存在的点,x,.,(2)第一充分条件:,(3)第二充分条件:,23,内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使一阶导数,2.连续函数的最值,(2),特别:,当,求,就是,最,大,(小),值.,如果在区间 内可导且只有一个极值点,则这个,极,大,(小),值,24,2.连续函数的最值(2)特别:当 求就是最大(小)值,思考与练习,B,(,A,)取得极大值;,(,B,)取得极小值;,(,C,)在某邻域内单调增加;,(,D,)在某邻域内单调减少.,提示:,A,作业:,P162,1(2)(8)(9);5;6;16.,预习:,P,164-174,25,思考与练习B(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C,