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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,二次函数的应用,第二章 二次函数,第,1,课时 图形面积的最大值,2.4 二次函数的应用第二章 二次函数 第1课时,学习目标,1.,分析实际问题中变量之间的二次函数关系,.,（难点）,2.,会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,.,3.,能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题,.,（重点）,学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）,导入新课,复习引入,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,.,（,1,）,y,=,x,2,-4,x,-5;,(2),y,=-,x,2,-3,x,+4.,解：（,1,）开口方向：向上；对称轴：,x,=2,；,顶点坐标：（,2,，,-9,）；,（2）开口方向：向下；对称轴：,x,=,；,顶点坐标：（,，,）；,导入新课复习引入 写出下列抛物线的开口方向、对称,由于抛物线,y=ax,2,+,bx+c,的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,有最小（大）值,想一想：,如何求出二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的最小（大）值？,由于抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是最低,讲授新课,求二次函数的最大,(,或最小,),值,一,典例精析,例,1,写出下列抛物线的最值,.,（,1,）,y,=,x,2,-4,x,-5;,解：,(1),a,=1,0,，对称轴为,x,=2,顶点坐标为（,2,，,-9,）,当,x,=2,时，,y,取最小值，最小值为,-9;,(2),y,=-,x,2,-3,x,+4.,(2),a,=-1,0,，对称轴为,x,=,顶点坐标为（,，,）,当,x,=,时，,y,取最大值，最小值为,;,讲授新课求二次函数的最大(或最小)值一典例精析例1 写出下列,例,2,已知二次函数,y,ax,2,4,x,a,1的最小值为2，则,a,的值为(),A3 B1 C4 D4或1,解析：二次函,数,y,ax,2,4,x,a,1有最小值2，,a,0，,y,最小值,2，,整理，得,a,2,3,a,40，解得,a,1或4.,a,0，,a,4.故选C.,C,例2 已知二次函数yax24xa1的最小值为2，则a,引例,:,从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度,h,（单位：,m,）与小球的运动时间,t,（单位：,s,）之间的关系式是,h=,30,t-,5,t,2,（,0,t,6,）,小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？,几何图形面积的最大面积,二,t/,s,h/,m,O,1,2,3,4,5,6,20,40,h=,30,t-,5,t,2,可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,.,也就是说，当,t,取顶点的横坐标时，这个函数有最大值,.,引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与,小球运动的时间是,3s,时，小球最高,.,小球运动中的最大高度是,45 m,t/,s,h/,m,O,1,2,3,4,5,6,20,40,h=,30,t-,5,t,2,小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是,例,1,用总长为,60m,的篱笆围成矩形场地，矩形面积,S,随矩形一边长,l,的变化而变化,.,当,l,是多少时，场地的面积,S,最大？,问题,1,矩形面积公式是什么？,典例精析,问题,2,如何用,l,表示另一边？,问题,3,面积,S,的函数关系式是什么？,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边,例,1,用总长为,60m,的篱笆围成矩形场地，矩形面积,S,随矩形一边长,l,的变化而变化,.,当,l,是多少时，场地的面积,S,最大？,解,:,根据题意得,S,=,l,(30-,l,),即,S,=-,l,2,+30,l,(0,l,30),.,因此，当 时，,S,有最大值,也就是说，当,l,是,1,5,m,时，场地的面积,S,最大,.,5,10,15,20,25,30,100,200,l,s,O,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边,变式,1,如图，用一段长为,60m,的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长,32m,，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,x,x,60,-,2,x,问题,2,我们可以设面积为,S,，如何设自变量？,问题,3,面积,S,的函数关系式是什么？,问题,4,如何求自变量,x,的取值范围？墙长,32m,对此题有什么作用？,问题,5,如何求最值？,最值在顶点处，即当,x,=15,m,时，,S,=450m,2,.,问题,1,变式,1,与例,1,有什么不同？,S,x,(60,2,x,),2,x,2,60,x,.,0,60,2,x,32,，即,14,x,30.,设垂直于墙的边长为,x,m,，,变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜,变式,2,如图，用一段长为,60m,的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长,18m,，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,问题,1,变式,2,与变式,1,有什么异同？,问题,2,可否模仿变式,1,设未知数、列函数关系式？,问题,3,可否试设与墙平行的一边为,x,米？则如何表示另一边？,设矩形面积为,S,m,2,与墙平行的一边为,x,m,，则,变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜,问题,5,当,x,=30,时，,S,取最大值，此结论是否正确？,问题,6,如何求最值？,由于,30,18,，,因此只能利用函数的增减性求其最值,.,当,x,=18,时，,S,有最大值是,378.,不正确,.,问题,4,如何求自变量的取值范围？,0,x,18.,问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题6,实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围,.,通过变式,1,与变式,2,的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值,.,方法总结,实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处,知识要点,二次函数解决几何面积最值问题的方法,1.,求出函数解析式和自变量的取值范围；,2.,配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.,检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内,.,知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式,例,2,用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长,(,图中所有黑线的长度和,),为,15m.,当,x,等于多少时，窗户通过的光线最多？,(,结果精确到,0.01m),此时，窗户的面积是多少？,(,结果精确到,0.01m,2,),典例精析,x,x,y,解：,7,x,+4,y,+,x,=15,0,x,1.48.,例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分,设窗户的面积是,S,m,2,则,因此，当,x,约为,1.07m,时，窗户通过的光线最多,.,此时，窗户的面积约为,4.02,m,2,.,设窗户的面积是S m2,则 因此，当x约为1.0,利用二次函数解决拱桥问题,二,例,3,要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面,2 m,水面宽,4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降,1 m,问此时水面宽度增加多少,?,x,y,O,-3,(-2,-2),(2,-2),4,米,利用二次函数解决拱桥问题二例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形,当 时，,所以，水面下降,1,m,，水面的宽度为,m,.,所以水面的宽度增加了,m.,解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（,2,，,-2,），可得,所以，这条抛物线的解析式为,当水面下降,1m,时，水面的纵坐标为,-3,x,y,O,(-2,-2),(2,-2),设二次函数解析式为,当 时，所以水面的宽度增加了,x,y,x,y,如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面,2 m,水面宽,4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降,1 m,问此时水面宽度增加多少,?,4 m,4 m,请同学们分别求出对应的函数解析式,.,O,O,解：设,y,=,ax,2,+2,，将（,-,2,0,）代入得,a,=,y,=+2,；,设,y,=,a,（,x-2,）,2,+2,，将（,0,0,）代入得,a,=,y,=+2,；,xyxy 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入,知识要点,解决拱桥问题的一般步骤,(1),根据题意建立适当的直角坐标系；,(2),把已知条件转化为点的坐标；,(3),合理设出函数解析式；,(4),利用待定系数法求出函数解析式；,(5),根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算,.,知识要点解决拱桥问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐,1.,如图,1,，用长,8m,的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是,.,当堂练习,图,1,1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的,2.,赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（）,A,.,-10m B,.,m C,.,m D,.,m,D,2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标,3.,如图,1,，在,ABC,中，,B,=90,AB,=12cm,BC,=24cm,动点,P,从点,A,开始沿,AB,向,B,以,2cm/s,的速度移动（不与点,B,重合），动点,Q,从点,B,开始沿,BC,以,4cm/s,的速度移动（不与点,C,重合）,.,如果,P,、,Q,分别从,A,、,B,同时出发，那么经过,s,，四边形,APQC,的面积最小,.,3,A,B,C,P,Q,图,1,3.如图1，在ABC中，B=90,AB=12cm,4.,某广告公司设计一幅周长为,12m,的矩形广告牌，广告设计费用每平方米,1000,元，设矩形的一边长为,x,(m),面积为,S,(m,2,),.,(1),写出,S,与,x,之间的关系式，并写出自变量,x,的取值范围；,解,：,(1),因为矩形一边长为,x,，则另一边长为,（,6-,x,),S,=,x,(6-,x,)=-,x,2,+6,x,其中,0,x,6.,4.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费,(2),S,=-,x,2,+6,x,=-(,x,-3),2,+9;,当,x,=,3,时，即矩形的一边长为,3m,时，矩形面积最大，,为,9m,2,.,这时设计费最多，为,91000=9000,（元）,(2),请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用,.,(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即,5.,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子,OA,，,O,点恰在水面中心，,OA,=1.25,米，由柱子顶端,A,处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,.,为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离,OA,距离为,1,米处达到距水面最大高度,2.25,米,.,如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？,O,A,1.25,米,5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱,O,B,C,A,解：建立如图坐标系，设抛物线顶点,为,B,，水流落水处与,x,轴交于,C,点,.,由题意可知,A,（,0,，,1.25,）、,B,（,1,，,2.25,）、,C,（,x,0,，,0,）,.,x,y,设抛物线为,y,=,a,(,x,1),2,
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