资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,法向量求二面角,*,3.2立体几何中的向量方法,法向量求二面角,1,3.2立体几何中的向量方法法向量求二面角1,A,平面的法向量：,如果表示向量,的有向线段所在直线垂直于平面,，则称这个向量垂直于平面 ,记作,，如果,，那 么 向 量,叫做,平面 的,法向量.,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,l,法向量求二面角,2,A平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平,平面的法向量：,注意：,1.法向量一定是非零向量;,2.一个平面的所有法向量都互相平行;,l,法向量求二面角,3,平面的法向量：注意：l法向量求二面角3,求法向量的步骤：,法向量求二面角,4,求法向量的步骤：法向量求二面角4,5,法向量求二面角,5,5法向量求二面角5,例1、在棱长为2的正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O是面AC的中心,求面OA,1,D,1,的法向量.,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），,则O（1，1，0），A,1,（0，0，2），D,1,（0，2，2），,设平面OA,1,D,1,的法向量的法向量为n=(x,y,z),由 =（-1，-1，2），=（-1，1，2）得,解得,取z=1得平面OA,1,D,1,的法向量的坐标n=(2,0,1),A,A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,法向量求二面角,6,例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是,二面角的平面角,二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,O,复习：,二面角的范围,：,法向量求二面角,7,二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在,l,l,法向量法,求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.,二面角的大小与法向量n1、n2夹角相等或互补。,法向量求二面角,8,ll法向量法求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.法,四,、,教学过程的设计与实施,总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：,1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；,2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；,3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果,法向量求二面角,9,四、教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步,例2：如图，正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，E，F，M，N分别是A,1,B,1,，BC，C,1,D,1,，B,1,C,1,的中点，求二面角M-EF-N的大小,A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,(2),法向量求二面角,10,例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，,A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,x,y,z,解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0）E（2，1，2）N（1，2，2）则MF=（1,1，-2）NF=（0，0，-2）EF=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0,NFn=0,-x+y-2z=0,-2z=0,则,x=y,z=0,令x=y=1,则n=(1,1,0),2,法向量求二面角,11,AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如图所示,A,D,1,C,1,B,1,A,1,N,M,F,E,D,C,B,x,y,z,解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为 n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2）设面EMF的法向量为m=（x,y,z)，则,MF.m=0,EFm=0,x+y-2z=0,-x+y-2z=0,x=0,y=2z,令z=1,则m=(0,2,1),cos=10/5 由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5),法向量求二面角,12,AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如图，由,A,z,y,x,D,C,B,S,图5,例3 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S,A,BCD,中，AD/BC，,A,BC=90,0,，,S,A,面,A,BCD，,A,B=BC=1，,求侧面SCD与面SB,A,所成的二面角的大小。,法向量求二面角,13,AzyxDCBS图5例3 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥,解：以,A,为原点如图建立空间直角坐标系，,A,z,y,x,D,C,B,S,图5,则,1,1,显然平面SB,A,的一个法向量为,设平面SCD的一个法向量为,则,法向量求二面角,14,解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图,则,根据题意知，侧面SCD与面SB,A,所成的,二面角的大小的大小为,法向量求二面角,15,则根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的法向量求二面角15,练习：在正方体AC,1,中，E是BB,1,中点，求（1）二面角A-DE-B的余弦值；,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,X,Y,Z,法向量求二面角,16,练习：在正方体AC1中，E是BB1中点，求（1）二面角,课后作业：,1,、如图所示,，,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为1,，,试用多种方法求二面角,A,1,BDC,1,的余弦值,四,、,教学过程的设计与实施,法向量求二面角,17,课后作业：四、教学过程的设计与实施法向量求二面角17,谢谢！,法向量求二面角,18,谢谢！法向量求二面角18,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。,求证：PE AF；,求点D到平面PEF的距离；,求直线AC到平面PEF的距离；,求直线PA与EF的距离；,求直线PA与EF所成的角；,求PA与平面PEF所成的角；,求二面角A-PE-F的大小。,A,B,C,D,E,F,P,x,y,z,练习,法向量求二面角,19,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD,
展开阅读全文