直线与平面垂直的判定课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2,.,3,.,1,直线与平面垂直的判定,1,.,理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中,“,任意,”,两字的重要性,.,2,.,掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解决有关线面垂直的问题,.,3,.,了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法,.,1,2,3,1,.,直线与平面,垂直,1,2,3,名师点拨,1,.,定义中的,“,任意一条直线,”,与,“,所有直线,”,是同义,与,“,无数条直线,”,不是同义,.,2,.,直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,.,3,.,由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线,.,1,2,3,【做一做,1,】,已知直线,l,平面,直线,m,则,l,与,m,不可能,(,),A.,平行,B.,相交,C.,异面,D.,垂直,解析,:,因为直线,l,平面,所以,l,与,相交,又因为,m,所以,l,与,m,相交或异面,.,由,直线与平面垂直的定义,可知,l,m.,故,l,与,m,不可能平行,.,答案,:,A,1,2,3,2,.,判定,定理,1,2,3,【,做一做,2,】,若一条直线垂直于一个平面内的,:,三角形的两边,;,梯形的两边,;,圆的两条直径,;,正六边形的两条边,.,则能保证该直线与平面垂直的是,(,),A.,B.,C.,D.,解析,:,三角形,的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是,.,答案,:,A,1,2,3,3,.,直线和平面所成的角,(1),定义,:,一条直线和一个平面,相交,但不和这个平面,垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的,交点,叫做斜足,.,过斜线上斜足以外的一点向平面引,垂线,过,垂足,和,斜足,的直线叫做斜线在这个平面上的射影,.,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的,锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,.,(2),规定,:,一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是,直角,;,一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是,0,的角,.,因此,直线与平面所成的角,的范围是,0,90,.,1,2,3,归纳总结,斜线与平面所成的角,(,空间角,),是用斜线和其射影所成的角,(,平面角,),来定义的,因此,其求解策略也是将空间问题转化为平面问题,.,要注意,斜线与平面所成角的大小不受选择点的位置的限制,;,作出斜线的射影是求斜线和平面所成角的关键,.,1,2,3,【做一做,3,】,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,AB,1,与平面,ABCD,所成的角的度数是,.,解析,:,因为,B,1,B,平面,ABCD,所以,B,1,AB,是,AB,1,与平面,ABCD,所成的角,.,在,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,四边形,ABB,1,A,1,是正方形,所以,B,1,AB=,45,.,答案,:,45,1,2,1,.,理解直线与平面垂直的判定定理,剖析,:(1),在判定定理的条件中,“,平面内两条相交直线,”,是关键性词语,此处强调相交,.,(2),要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可,.,至于这两条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的,.,(3),判定定理是由线线垂直推导出线面垂直,其最终仍归结为证明线线垂直,即证明线与平面内的两条相交直线垂直,.,(4),判定线面垂直的方法有,:,利用线面垂直的定义,:,一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则该直线垂直于这个平面,;,利用线面垂直的判定定理,.,1,2,知识拓展,过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直,.,1,2,2,.,一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面,剖析,:,如图,在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,在棱,AB,上任取一点,E,过点,E,作,EF,AD,交,CD,于点,F,则这样的直线能够作无数条,.,很明显直线,AB,垂直于平面,AC,内的无数条直线,而直线,AB,平面,AC,;,直线,A,1,B,1,也垂直于平面,AC,内的无数条直线,而直线,A,1,B,1,平面,AC.,其原因是,虽然这两条直线都垂直于平面,AC,内的无数条直线,但是这无数条直线是互相平行的,没有两条相交的直线,所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件,“,两条相交直线,”,.,因此,一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,如图,已知,PA,BC,AB,是,O,的直径,C,是,O,上不同,于,点,A,B,的任意一点,过点,A,作,AE,PC,于点,E.,求证,:,AE,平面,PBC,.,证明,:,因为,AB,是,O,的直径,所以,BC,AC.,因为,PA,BC,PA,AC=A,所以,BC,平面,PAC.,因为,AE,平面,PAC,所以,BC,AE.,因为,PC,AE,且,PC,BC=C,所以,AE,平面,PBC.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的,步骤,:(,1),在这个平面内找出两条直线,使它和已知直线垂直,;(2),确定这个平面内的这两条直线是相交直线,;(3),根据判定定理得出结论,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,如图,在三棱锥,S-ABC,中,ABC=,90,D,是,AC,的中点,且,SA=SB=SC.,(1),求证,:,SD,平面,ABC,;,(2),若,AB=BC,求证,:,BD,平面,SAC.,证明,:,(1),因为,SA=SC,D,是,AC,的中点,所以,SD,AC.,在,Rt,ABC,中,AD=BD,由已知,SA=SB,所以,ADS,BDS.,所以,SD,BD.,又,AC,BD=D,所以,SD,平面,ABC.,(2),因为,AB=BC,D,为,AC,的中点,所以,BD,AC,由,(1),知,SD,BD.,又因为,SD,AC=D,所以,BD,平面,SAC.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是矩形,且,PA,平面,ABCD,PA=,5,AB=,4,AD=,3,.,求直线,PC,与平面,ABCD,所成的角的大小,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,求斜线与平面所成的角的步骤,:,(1),作图,:,作,(,或找,),出斜线在平面上的射影,将空间角,(,斜线与平面所成的角,),转化为平面角,(,两条相交直线所成的锐角,),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足,(,有时可以是两垂足,),作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才能便于计算,.,(2),证明,:,证明,找出的平面角是斜线与平面所成的角,.,(3),计算,:,通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,如图,PA,平面,ABCD,ABCD,为正方形,且,PA=AD,E,F,分别是线段,PA,CD,的中点,.,求,EF,和平面,ABCD,所成的角的正切值,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,CA=CB,AB=AA,1,BAA,1,=,60,.,证明,:,AB,A,1,C.,证明,:,取,AB,的中点,O,连接,CO,A,1,B,A,1,O,如图,.,因为,AB=AA,1,BAA,1,=,60,所以,BAA,1,是正三角形,所以,A,1,O,AB.,因为,CA=CB,所以,CO,AB.,又,CO,A,1,O=O,所以,AB,平面,COA,1,而,A,1,C,平面,COA,1,所以,AB,A,1,C.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,证明两条直线垂直,常转化为证明直线与平面垂直,即把其中一条直线放在一个平面内,证明另一条直线垂直于该平面,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【,变,式训练,3,】,如图,四边形,ABCD,为矩形,AD,平面,ABE,F,为,CE,上的点,且,BF,平面,ACE.,求证,:,AE,BE.,证明,:,因为,AD,平面,ABE,AD,BC,所以,BC,平面,ABE.,又,AE,平面,ABE,所以,AE,BC.,因为,BF,平面,ACE,AE,平面,ACE,所以,AE,BF.,因为,BF,平面,BCE,BC,平面,BCE,BF,BC=B,所以,AE,平面,BCE.,又,BE,平面,BCE,所以,AE,BE.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,:,证明线面垂直不严密而致错,【例,4,】,如图,在三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AA,1,平面,ABC,AC=BC,D,是,AB,的中点,连接,CD.,求证,:,CD,平面,ABB,1,A,1,.,错解,:,证明,:,因为,AA,1,平面,ABC,CD,平面,ABC,所以,CD,AA,1,.,又,BB,1,AA,1,所以,CD,BB,1,.,又,AA,1,平面,ABB,1,A,1,BB,1,平面,ABB,1,A,1,所以,CD,平面,ABB,1,A,1,.,错因分析,:,错解中,AA,1,和,BB,1,是平面,ABB,1,A,1,内的两条平行直线,不是相交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件,.,题型一,题型二,题型三,题型四,正,解,:,证明,:,因为,AA,1,平面,ABC,CD,平面,ABC,所以,CD,AA,1,.,因为,AC=BC,D,是,AB,的中点,所以,CD,AB.,因为,AB,平面,ABB,1,A,1,AA,1,平面,ABB,1,A,1,AB,AA,1,=A,所以,CD,平面,ABB,1,A,1,.,反思,证明线面垂直时,所满足的条件必须是明显的或已经证明成立的,且与直线与平面垂直的判定定理的条件严格一致,否则会导致证明不完整,.,