收敛数列的性质95020ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,收敛数列的性质,教学目的,：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。,教学要求,：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、,局部有界性、保号性、保不等式性；,（）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性,定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。,收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列,1,1.,唯一性,定理,每个收敛的数列只有一个极限,.,若数列,收敛，,则它只有一个极限。,一、数列极限的性质,1.唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限.若数列收敛，,2,证,故极限唯一,.,由定义,证故极限唯一.由定义,3,2.,有界性,定理2.3,收敛的数列必定有界,.,2.有界性定理2.3 收敛的数列必定有界.,4,证,由定义,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,推论,无界数列必定发散,.,证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列,5,3.,保号,性,定理2.4,若,（或,），则对任何,（或,），存在正数，使,时有,（或,）。,得当,3.保号性 定理2.4若（或），则对任何（或），存在正数,6,收敛数列的性质95020ppt课件,7,4.保不等性,定理2.5,设数列,与,均收敛，若存在正数,使得当,时有,，则,。,，,4.保不等性定理2.5设数列与均收敛，若存在正数使得当时有，,8,收敛数列的性质95020ppt课件,9,思考,：如果把条件,“,”换成“,把结论换成,”，那么能否,？,思考：如果把条件“”换成“把结论换成”，那么能否？,10,证,证,11,5.,夹逼准则,本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。,设收敛数列,、,都以a为极限，数列,满足：存在正数,，当,时有,则数列,收敛，且,.,定理2.6,5.夹逼准则本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计,12,上两式同时成立,证,上两式同时成立,证,13,注意:,例2,求数列 的极限。,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:例2 求数列 的极限。上述数列极,14,例3,解：记 ，这里 ，则有：,左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证,。,例3 解：记,15,解,由夹逼定理得,解由夹逼定理得,16,6、极限运算法则,6、极限运算法则,17,例：求,例：求,18,解：由于,所以,例：求,解：由于 所以例：求,19,解：,例4 求,解：例4 求,20,解:,解:,21,解：若,则,若,，则由,有,若,，则,例5,求,解：若 则 若，则由 有 若，则例5求,22,解：由于,故,从而,解：由于 故 从而,23,二,数列的子列,子列的定义,定义,设,为正整数集,的无限,称为数列,的一,个子列,，简记为,.,子集，且,注1,的子列,的各项都来自,且保持这些项在,中的的先后次序,为数列，,则数列,二 数列的子列子列的定义定义 设为正整数集的无限称为数,24,注,2,子列,中的,表示,是,中的第,项，,表示,是,中的第,k,项,注3,数列,本身以及,去掉有限项以后得到的子列，称为,的,平凡子列,；不是平凡子列的子列，称为,平凡子列,。,的,非,数列,与它的任一平凡子列同为收敛或发散，,时有相同的极限,。,且在收敛,注2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项 注3,25,定理2.8,数列,收敛,的任何非平凡子,列都收敛。,2 子列与其本敛散性关系,定理2.8 数列收敛 的任何非平凡子列都收敛。2 子列与,26,收敛数列的性质95020ppt课件,27,收敛数列的性质95020ppt课件,28,若数列,有一个子列发散，或有两个子列收敛而,注,极限不相等，则数列,一定发散。,如,收敛于是1,收敛于是-1。,故,发散,若数列 有一个子列发散，或有两个子列收敛而注 极限不相等，则,29,例：证明,证明：由于,故,的两个子列,收敛于0,，,发散。,发散。,收敛于1。,即数列,作业 P51 1(4),2,例：证明 证明：由于 故的两个子列收敛于0，发散,30,