资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,2.2.4,均值不等式及其应用,第,1,课时,2.2.4 均值不等式及其应用第1课时,1,问题,1,阅读课本第,7175,页，回答下列问题：,整体概览,（,1,）本节将要研究哪类问题？,（,2,）本节研究的起点是什么？目标是什么？,问题1阅读课本第7175页，回答下列问题：整体概览（1）,问题,1,阅读课本第,7175,页，回答下列问题：,整体概览,（,1,）本节将要研究均值不等式及其应用（,2,）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题进一步提升数学运算、逻辑推理等素养,（,1,）本节将要研究哪类问题？,（,2,）本节研究的起点是什么？目标是什么？,问题1阅读课本第7175页，回答下列问题：整体概览（1）,情境与问题,问题,给定两个正数,a,，,b,，数 称为,a,，,b,的算术平均值；数 称为,a,，,b,的几何平均值两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？,情境与问题问题给定两个正数a，b，数 称,情境与问题,【,尝试与发现,】,（,1,）假设一个矩形的长和宽分别为,a,和,b,，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；,（,2,）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（,1,）说出结论的几何意义,情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和,情境与问题,a,1,2,b,1,4,1,3,1,情境与问题a12b14131,新知探究,均值不等式,如果,a,，,b,都是正数，那么,，,当且仅当,a,b,时，等号成立,证明,因为,a,，,b,都是正数，所以,即,而且，等号成立时，当且仅当，即,a,b,新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么,新知探究,均值不等式,如果,a,，,b,都是正数，那么,，,当且仅当,a,b,时，等号成立,值得注意的是，均值不等式中的,a,，,b,可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如,一定是正确的,新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么,新知探究,均值不等式,如果,a,，,b,都是正数，那么,，,当且仅当,a,b,时，等号成立,综合法证明如下：,因为（,a,b,）,2,0,，所以,a,2,b,2,2,ab,0,，,所以,a,2,b,2,2,ab,4,ab,0,，,即（,a,b,）,2,4,ab,又因为,a,0,，,b,0,，所以,a,b,，,显然，当且仅当（,a,b,）,2,0,，即,a,b,时，等号成立,即,新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么,新知探究,问题,2,均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的,a,，,b,还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么，均值不等式有什么几何意义呢？,将均值不等式两边平方可得,ab,如果矩形的长和宽分别为,a,和,b,，那么矩形的面积为,ab,，,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大,新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a,新知探究,【,想一想,】,你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？,正三角形，圆,新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角,4 均值不等式及其应用,依题意得2（xy）36，即xy18,当x 时，ymax ,解：（1）因为x0，所以根据均值不等式有,（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义,（1）本节将要研究哪类问题？,因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81,（1）本节将要研究哪类问题？,二定，不等式一边为定值；,，由图可知COCD，所以 ，变形为ab ,（1）本节将要研究哪类问题？,因为x0，y0，所以,从而yx（1x）所以y的最大值为 ,（1）已知a为大于0的常数，x0，求yx 的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；,当且仅当xy时，等号成立，,解：（1）因为x0，所以根据均值不等式有,例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？,当且仅当1x3x，即x1时，等号成立,新知探究,问题,3,如图所示半圆中，,AB,为直径，,O,为圆心已知,AC,a,，,BC,b,，,D,为半圆上一点，且,DC,AB,，算出,OD,和,CD,，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？,A,B,D,O,C,在,Rt,ABD,中，由于,DC,AB,，利用射影定理可得,CD,，又,CO,，由图可知,CO,CD,，所以,，变形为,a,b,结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦,4 均值不等式及其应用新知探究问题3如图所示半圆中，AB,新知探究,例,1,（,1,）已知,x,0,，求,y,x,的最小值，并说明,x,为何值时,y,取得最小值,（,2,）已知,x,（,1,，,3,），求,y,（,1,x,）（,3,x,）的最大值，以及,y,取得最大值时,x,的值,（,3,）求函数,y,x,（,1,x,），,x,，,1,）的最大值,新知探究例1（1）已知x0，求yx 的最小值，并,新知探究,例,1,（,1,）已知,x,0,，求,y,x,的最小值，并说明,x,为何值时,y,取得最小值,解：,（,1,）因为,x,0,，所以根据均值不等式有,解得,x,1,或,x,1,（舍）,其中等号成立当且仅当,x,，即,x,2,1,，,因此,x,1,时，,y,取得最小值,2,新知探究例1（1）已知x0，求yx 的最小值，并,新知探究,例,1,（,2,）已知,x,（,1,，,3,），求,y,（,1,x,）（,3,x,）的最大值，以及,y,取得最大值时,x,的值,解：,（,2,）当,x,（,1,，,3,）时，一,1,x,3,，因此,1,x,0,，,3,一,x,0,当且仅当,1,x,3,x,，即,x,1,时，等号成立,从而（,1,x,）（,3,x,）,4,，即,y,4,由均值不等式可得,，,从而,x,1,时，,y,取得最大值,4,新知探究例1（2）已知x（1，3），求y（1x）（,解：,（,3,）错解：由,x,1,，易知,1,x,0,，,新知探究,例,1,（,3,）求函数,y,x,（,1,x,），,x,，,1,）的最大值,从而,y,x,（,1,x,）,所以,y,的最大值为 ,正解：,y,x,（,1,x,）,x,2,x,（,x,）,2,，,当,x,时，,y,max,解：（3）错解：由 x1，易知1x0，新知探,新知探究,（,1,）在利用均值不等式求最值时要注意,“,一正、二定、三相等,”,：一正，,a,，,b,均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即,a,b,有解（,2,）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值（,3,）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答,新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三,新知探究,例,2,（,1,）已知矩形的面积为,100,，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？,（,2,）已知矩形的周长为,36,，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？,在（,1,）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（,2,）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值,新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、,新知探究,例,2,（,1,）已知矩形的面积为,100,，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？,解：,（,1,）设矩形的长与宽分别为,x,与,y,，依题意得,xy,100,因此，当矩形的长和宽都是,10,时，它的周长最短，最短周长为,40,当且仅当,x,y,时，等号成立，,所以,2,（,x,y,）,40,因为,x,0,，,y,0,，所以,由,，可知此时,x,y,10,新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、,新知探究,例,2,（,2,）已知矩形的周长为,36,，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？,解：,（,2,）设矩形的长与宽分别为,x,与,y,，,依题意得,2,（,x,y,）,36,，即,x,y,18,因为,x,0,，,y,0,，所以,因此,9,，即,xy,81,当且仅当,x,y,时，等号成立，由,，可知此时,x,y,9,因此，当矩形的长和宽都是,9,时，它的面积最大，最大面积为,81,新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽,新知探究,方法总结：,求实际问题中最值的一般思路：（,1,）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；,（,3,）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解,（,2,）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；,（,4,）正确地写出答案,新知探究方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意,新知探究,（,1,）已知,a,为大于,0,的常数，,x,0,，求,y,x,的最小值，并求,y,取得最小值时相应的,x,的值；,（,2,）已知,x,0,，求,y,x,的最大值，并求,y,取得最大值时相应,x,的值；,（,3,）已知,x,1,，求,y,x,的最小值，并求,y,取得最小值时相应,x,的值；,（,4,）已知,x,1,，求,y,x,的最大值，并求,y,取得最大值时相应,x,的值,新知探究（1）已知a为大于0的常数，x0，求yx,新知探究,（,2,）当,x,1,时，,y,有最大值为一,2,；,（,3,）当,x,2,时，,y,有最小值为,3,；,（,4,）当,x,0,时，,y,有最大值为一,1,参考答案：,（,1,）当,x,时，,y,有最小值为,；,新知探究（2）当x1时，y有最大值为一2；（3）当x2,依题意得2（xy）36，即xy18,例1（2）已知x（1，3），求y（1x）（3x）的最大值，以及y取得最大值时x的值,回顾本节课，你有什么收获？,当且仅当ab时，等号成立,因此 9，即xy81,问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么，均值不等式有什么几何意义呢？,所以a2b22ab4ab0，,问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心已知ACa，BCb，D为半圆上一点，且DCAB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？,从而yx（1x）所以y的最大值为 ,（3）如何利用均值不等式求最值？,（2）已知x0，求yx 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；,（2）已知x0，求yx 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；,结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦,证明因为a，b都是正数，所以,，由图可知COCD，所以 ，变形为ab ,即（ab）24ab,当且仅当ab时，等号成立,均值不等式如果a，b都是正数，那么 ，,归纳小结,回顾本节课，你有什么收获？,（,1,）什么叫均值不等式？如何证明？,（,2,）均值不等式的几何意义是什么？,（,3,）如何利用均值不等式求最值？,依题意得2（xy）36，即xy18归纳小结回顾本
展开阅读全文