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第六节倍角公式和半角公式,三年13考,高考指数:,1.,会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系,.,2.,能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）,.,1.,灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变形，进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容,.,2.,以三角函数为背景，向量为载体考查恒等变形能力也是高考的常考内容,.,3.,多以选择题、解答题的形式出现，属中、低档题,.,1.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,公式名,公式,二倍角的正弦,二倍角的余弦,二倍角的正切,【,即时应用,】,(1),思考：二倍角公式中对任意的,都成立,吗？,提示：,不一定,当时，公式成立,.,(2)sin15,cos15,的值等于,_.,【,解析,】,答案：,(3),若 则,tan2=_.,【,解析,】,答案：,2.,半角公式,【,即时应用,】,(1),思考：你能用,sin,、,cos,表示 吗？,提示：,(2),判断下列公式及其变形是否正确,.(,请在括号中填写,“,”,或,“,”,),【,解析,】,根据公式可知根号下分子上应该是,“,+,”,，故错,;,等号右边分子上应该是,“,-,”,，故错；等号右边分子上应该是,“,-,”,，可以化简验证，故错,.,答案：,(3),填空：,cos,2,15,-sin,2,15,=_.,2sin,2,15,-1=_.,【,解析,】,cos,2,15,-sin,2,15,=cos30,=,2sin,2,15,-1=-cos30,=,答案：,三角函数的化简,【,方法点睛,】,三角函数的化简技巧、方法和要求,(1),寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；,(2),正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；,(3),一些常规技巧：,“,1,”,的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等,(4),三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化,(5),化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数,.,【,提醒,】,公式的逆用、变形用十分重要，特别是,1+cos2,=,2cos,2,1-cos2,=,2sin,2,形式相似，容易出错，应用时要加强,“,目标意识,”,.,【,例,1】,化简下列各式：,【,解题指南,】,(1),若注意到化简式是开平方根和,2,是,的二,倍，,是 的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；,(2),由于分子是一个平方差，分母可通过二倍角公式化简，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点,.,【,规范解答,】,(1),因为,所以,又因为,所以,所以，原式,=,(2),原式,=,答案：,【,互动探究,】,把本例中的,(2),改为求,【,解析,】,原式,=,答案：,【,反思,感悟,】,1.,在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅,限于,2,是,的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，,同时还要注意 三个角的内在联系，,是常用的三角变换,.,2.,化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧,.,3.,常用的公式变形：,【,变式备选,】,不查表求,sin,2,20,+cos,2,80,+,sin20,cos80,的值,.,【,解析,】,sin,2,20,+cos,2,80,+sin20,cos80,=(1,cos40,)+(1+cos160,)+sin20,cos80,=1,cos40,+cos160,+sin20,cos(60,+20,),=1,cos40,+(cos120,cos40,sin120,sin40,),+sin20,(cos60,cos20,sin60,sin20,),=1,cos40,cos40,sin40,+sin40,sin,2,20,=1,cos40,(1,cos40,)=,三角函数式的求值,【,方法点睛,】,三角函数式求值的类型和思路,(1),三角函数式求值的类型,三角函数式求值分为直接求值和条件求值,直接求值就是直接根据三角函数的公式化简变形求得三角函数式的值,.,条件求值是要根据条件选择合适的公式，进行三角恒等变换求得所需要的值，同时注意所给角的范围,.,(2),条件求值的一般思路,先化简所求式子或所给条件,;,观察已知条件与所求式子之间的联系,(,从三角函数名称及角入手,);,将已知条件代入所求式子,化简求值,.,【,例,2】(1)(2012,合肥模拟,),计算：,(2),若则,tantan=_.,(3)(2012,西安模拟,),已知 则,【,解题指南,】,(1),把正切函数换成正、余弦函数，再用公式化简求值；,(2),利用两角和、差的余弦公式展开求,coscos,sinsin,，相除得结果；,(3),根据已知条件求出,tan,，把所给的式子进行变形，代入,tan,即可,.,【,规范解答,】,(1),原式,=,(2)cos(+)=coscos-sinsin=,cos(-)=coscos+sinsin=,由解得,coscos=,sinsin=,则,解得,答案：,【,互动探究,】,把本例,(2),中的,“,cos(+)=,cos(-)=,”,改为,“,sin(+)=,sin(-)=,”,如何求,【,解析,】,因为,sin(+)=sincos+cossin=,sin(-)=sincos-cossin=,两式相加得,sincos,=,两式相减得,cossin,=-,即得,【,反思,感悟,】,三角函数式求值问题的注意点,(1),三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的思路，否则会使求值过程繁琐,.,(2),条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的变形和角的变换，同时要注意所给角的范围,.,【,变式备选,】,已知 求 的值,.,【,解析,】,又,故可知,从而,三角恒等式的证明,【,方法点睛,】,三角恒等式证明的方法及切入点,(1),证明恒等式的方法：,从左到右；从右到左；,从两边化到同一式子,.,原则上是化繁为简，必要时也可用分析法,.,(2),三角恒等式证明的切入点：,看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化,;,看函数,:,统一函数,向结果中的函数转化,.,【,例,3】,证明：,【,解题指南,】,(1),从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；,(2),从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意,“,1,”,的代换,.,【,规范解答,】,(1),左边,=,=,右边，原题得证,.,(2),左边,=,=,右边，原题得证,.,【,互动探究,】,把本例,(2),中等号左边改为,“,”,右,边不变，试证明,.,【,证明,】,左边,=,=,右边,.,所以原题得证,.,【,反思,感悟,】,1.,三角函数式的化简与证明的类型及思路：,(1),对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；,(2),对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；,(3),对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式,.,2.,化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个,“,化异为同,”,的过程，涉及切弦互化，即,“,函数名,”,的,“,化同,”,；角的变换，即,“,单角化倍角,”,、,“,单角化复角,”,，,“,复角化单角,”,、,“,复角化复角,”,等具体手段,.,【,变式备选,】,在,ABC,中，已知 求证：,【,证明,】,而,即,【,满分指导,】,三角函数性质综合题的规范解答,【,典例,】(12,分,)(2011,四川高考,),已知函数,(1),求,f(x,),的最小正周期和最小值,;,(2),已知,求证：,f(,),2,-2=0.,【,解题指南,】,(1),把,f(x,),化成,Asin(x+,),的形式；,(2),利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得,2coscos,=0,，结合,0,可得,=,.,【,规范解答,】,3,分,f(x,),的最小正周期,T=2,，,f(x,),的最小值为,-2.,5,分,(2),由已知得,两式相加得,2coscos,=0.,8,分,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,失,分,警,示,解答本题时有三点容易失分：,(1),第,(1),问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，,得不到化简后的正确结果,.,(2),由,的和差的余弦值得不到,2coscos,=0,而导,致后续计算无法进行,.,(3),在第,(2),问中得到,2cos,cos,=0,后忽略,0,得不到,的值，而无法继续往下做,.,备,考,建,议,解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：,(1),三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误,.,(2),忽略特殊角的值而使问题漏解,.,另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必须先通过恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数讨论其图像和性质,.,1.(2011,大纲版全国卷,),已知,(,),，,sin=,则,tan2=_.,【,解析,】,由,(,),sin=,，得,cos=-,答案：,2.(2011,重庆高考,),已知 且,(),则,的值为,_.,【,解析,】,由题意知,sin-cos,=,两边平方可得,sin2,=,所以,(,sin+cos),2,=,1+sin2,=,又,(),所以,sin+cos,=,答案：,3.(2011,天津高考,),已知函数,(1),求,f(x,),的定义域与最小正周期；,(2),设,(),，若,f()=,2cos2,求,的大小,.,【,解析,】,(1),由,所以 所以,f(x,),的定义域为,f(x,),的最小正周期为,(2),由 得,整理得,因为 所以,sin+cos0,因此,即 由 得 所以,即,
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