数系的扩充和复数的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2013/03/27,#,第三章 导数及其应用,高中数学选修,1-1,同学们数学不好的又一个原因,同学们，我们路走远了走久了都忘记了当初为什么要出发。这就涉及到学习数学的动机问题。你们学习数学学不好的一个原因是动机不纯或动机不对。学习数学不是为了考试，学习数学是因为数学有趣，我喜欢。我学习数学的动机不是为了考试，所以我也就当数学老师了。我们学习数学的动机是为了考试这个动机已经无意识的进入我们的潜意识。学习数学就是为了考试这个动机或忘记或我们自己也没意识到。我们不知不觉的以这个动机来学习，但这个动机是学不好数学的。,这个动机已经进入我们的潜意识，阻碍了学习的进步，我们要意识到。今天我们就意识到。,所以下面我们来分析这个动机是如何产生的？如果同学们在小学、初中老师如果告诉你学习数学是为了考试，那这老师不是好老师。你们被教笨了。坏老师教学生是越教越笨，好老师教学生是越教越聪明。,如果没有老师告诉你学习数学是为了考试，那我们学习数学是为了考试的动机是如何形成的？那就是自然自发的形成。因为周考、月考、期中考、期末考，日日考、月月考，年年考。我们无时无刻都遇到考试，所以我们就自然自发的形成了学习数学就是为了考试的动机。,今天知道了该怎办？这就需要数学心理辅导。我上过数学心理辅导课，同学们可以在数学让自己讨厌郁闷忧郁焦虑的时候默念自言自语的告诉自己我学习数学不是为了考试而是数学有趣，我喜欢。,这个方法就是用意识的语言改变潜意识里根深蒂固的观念。,现在我们形成了恶性循环。因为数学不好，学习数学令人痛苦，所以想早点摆脱数学，所以学习数学动机是考试越来越得到强化，而如果学习数学动机是考试越来越浓烈和强化那数学就越来越学不好。于是动机又得到强化，而动机得到强化数学就越来越不好，我们走不出这个恶性循环。,请同学们用我的方法走出恶性循环。,引入,昨天同学们反应上课听不懂，于是放弃了，于是打算高考复习时从头开始。为什么听不懂？因为以前的知识已经忘得一干二净。其实同学们可以做个实验，那就是今天的课复数跟以前的知识关系不大，复数是自成一派。所以同学们可以检验高中数学的难简性。学习复数你可以当作从新开始或从头开始。所以对复数的学习不要放弃，因为跟以前知识关系不大。,复数在我读高中时内容很多的，现删除掉了一大片，原因是复数知识的落后于时代性也有复数知识的繁难性。,引入,1,、已知,，,求下列各式的值：,（,1,）,；,、,；,、,。,反思：虽然有实数满足已知等式，但不必求出,x,。,2,、引申：若,，求,的值。,答：,于是问题出来了，在已知中是没有实数满足这个等式的，也就是说在实数范围内是无解的。既然没有实数满足这个等式，那未知的式子是求不出来的，但偏偏可以求出并且还是个实数,-1,，且是平方和,=,负数。不可思议，这说明什么？这说明在世界中除了实数还有种神奇的数，它像个幽灵在世界中游荡徘徊，这是个什么东西？它就像鬼，看不见摸不着，你只能想象，它就是鬼，于是我们给这个幽灵或鬼一个名称，这个鬼是这样子的，,，,i,是什么东西？它就是鬼。,问题,1,讨论关于,x,的方程（,x-1,）,(2x-1)(x,2,-2)(x,2,+1)=0,的解的个数。分别在整数范围内、有理数范围内、实数范围内有几解？,在宗教比如佛教中，人往往把鬼、神形象化、具体化、实物化，那就是给让人敬畏的鬼、神塑一座雕像。在寺庙，在画家的名画中。许多画家以画宗教中的鬼、神为荣。,我们,发现的新数,是鬼或是神，你看不见摸不着，你只能想象，于是为了形象化、具体化、实物化我们像宗教人士为鬼、神塑造一座雕像样让,i,表示这个幽灵一样的数。,i,像宗教人士为鬼、神立像。,参考文献：杂志,中学数学教学参考,2011,第九期上旬里面的一篇论文,“,数系的扩充”一课的教学设计,作者：丁箐（南京师范大学附属中学）,注：,x=i,或,-i,说明有两个鬼或神。,讲解数系的历史,自然数,的产生是原始社会计数的,需要（结绳记事的故事）。,负数的产生是为了表达现实中我欠你多少钱,，,我亏了多少钱之类的事情,。,有理数的产生是现实中遇到几分之几的,事情比如,2,个苹果,3,个人分。,本来,毕达哥拉斯学派认为,万物皆数这里指,有理数，但有人发现了无理数且献出了自己的生命。当时万物皆数这个信仰像当今的共产党，反党就是犯罪。要抓起来坐牢严重要枪毙。,实数是看得见摸得着的。,数系的扩充和复数的概念,数系的扩充,计数的需要,自然数（正整数与零）,解方程,x,+3=1,整数,解方程,3,x,=5,有理数,解方程,x,2,=2,实数,N,Z,Q,R,可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留,18:41,解方程,x,2,=,1,发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足,我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充,情境引入,18:41,为了解决负数开平方问题，,数学家,大胆,引入一个,新数,i,，把,i,叫做虚数单位，并且规定：,问题解决,:,(1),i,2,1,；,(2),实数可以与,i,进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律,(,包括交换律、结合律和分配律,),仍然成立,.,18:41,动 动 手,下列这些数与虚数单位,i,经过了哪些运算？,18:41,复数的概念,形如,a+bi(,a,bR,),的数叫做,复数,实,部,虚部,复数的代数形式,全体复数所形成的集合叫做,复数集,，,通常用字,母,z,表示,.,一般用字母,C,表示,.,知新,复数就是人鬼情未了，实数,a,是人，看得见摸得着，复数,bi,是鬼，看不见摸不着，它的一般形式,a+bi,是人鬼情未了。同学们可以看看美国著名电影,人鬼情未了,18:41,复数,z=,a,+,b,i(,a,R,、,b,R,),能否表示实数？,讨 论,虚数,（,纯虚数,（,a,=0,且,b,0,）,）,复数,z=,a,+,b,i,(,a,R,、,b,R,),实数,1,、若,a,=0,则,z=,a,+,b,i(,a,R,、,b,R,),为纯虚数,.,2,、若,z=,a,+,b,i(,a,R,、,b,R,),为纯虚数,则,a,=0,.,判断,（假）,（真）,故,a,=0,是,z=,a,+,b,i(,a,R,、,b,R,),为纯虚数的,条件,.,必要不充分,18:41,思考,复数集与实数集、虚数集、纯虚数集,之间有什么关系？,18:41,1,、复数,z,=,a,+,bi,复数的分类,2,.,复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系,同学们，这些名字是数学家取的，是取的形象生动深刻，我们一看到名字就知道是什么意思。实数看得见摸得着，全是人，非纯虚数是半人半鬼或半人半仙，纯虚数是全是鬼。“纯”就是纯净没有杂质的意思。实：就是看得见摸得着的意思。虚：就是看不见摸不着的意思,。,18:41,想一想,如果两个复数相等，那么它们应满,足什么条件呢？,18:41,如果两个复数的,实部,和,虚部,分别相等，那,么我们就说这,两个复数相等,.,即,复数相等,思考,知新,若,18:41,若,2-3i=a-3i,求实数,a,的值；,若,8+5i=8+bi,求实数,b,的值；,若,4+bi=a-2i,，求实数,a,b,的值。,说一说,18:41,2-3i,0,6i,实部,虚部,分类,虚数,例,1:,完成下列表格（分类一栏填,实数、虚数或,纯虚数,）,2,-3,虚数,0,0,实数,0,6,纯虚数,-1,0,实数,18:41,实数,m,取什么值时，复数 是,（,1,）实数？（,2,）虚数？（,3,）纯虚数？,解,：（,1,）,当 ，即 时，复数,z,是实数,（,2,）,当 ，即 时，复数,z,是虚数,（,3,）,当 ，且 ，即 时，复,数,z,是纯虚数,例,2:,18:41,练习,1:,当,m,为何实数时，复数,是（,1,）实数 （,2,）虚数 （,3,）纯虚数,18:41,已知 ，,其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,例,3:,18:41,课堂小结,虚数的引入,复 数,z=a,+,b,i,(,a,b,R,),复数的分类,当,b,=0,时,z,为实数,;,当,b,0,时,z,为虚数,(,此时,当,a,=0,时,z,为纯虚数,).,复数的相等,a+b,i=,c+d,i,(,a,b,c,d,R),a=c,b=d,唯物辨证法认为，,事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力,.,由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系,.,数系每次扩充的基本原则：,第一，增加新元素；,第二，原有的运算性质仍然成立；,第三，新数系能解决旧数系中的矛盾,.,复数的发展史,虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究,:,第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”,卡丹,，他是,1545,年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“,诡辩量,”,.,几乎过了,100,年，,笛卡尔,才给这种“虚幻之数”取了一个名字,虚数,但是又过了,140,年，,欧拉,还是说这种数只是存在于“,幻想之中,”，并用（,imaginary,，即虚幻的缩写）来表示它的单位,.,后来德国数学家,高斯,给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用,1830,年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数,.,到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一,.,C,A,1,D,B,1,A,B,C,D,1,1,1,1,E,F,BD,2,=2,古老的问题,:“,正方形的对角线是个奇怪的数”,BD =,？,关于无理数的发现,古希腊的,毕达哥拉斯学派,认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条,.,有一天,这个学派中的一个成员,希伯斯,突然发现,边长为,1,的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示,.,但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传,.,但希伯斯却将这一秘密透露了出去,.,毕达哥拉斯大怒,要将他处死,.,希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命,.,希伯斯发现的这类数,被称为无理数,.,无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献,.,