第二章极限与连续课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 二 章,极限与连续,第 二 章极限与连续,1,1 数列的极限,2 函数的极限,3 无穷小量与无穷大量,4 极限的运算法则,5 极限存在准则和两个重要极限,6 函数的连续性,1 数列的极限,2,基本要求,1、,了解,数列的概念及性质;,2、,了解,数列极限与函数极限的概念及几何意义;,2、,掌握,极限的性质及四则运算法则;,3、,掌握,极限存在准则，并会利用它们求极限;,4、,掌握,利用重要极限求极限的方法;,5、,理解,无穷小量与无穷大量,的概念;,6、,了解,函数的连续性概念,会判别函数的连续性;,7、,掌握闭区间上,连续函数的性质.,基本要求1、了解数列的概念及性质;,3,1 数列的极限,1.1 数列的概念,定义1 无穷多个按照一定顺序排列的数,数列中的每一个数称为,几个数列的例子：,通项,(1),(2),数列的项,第n项,称为数列的,通项,或,一般项,.,称为,数列,简记为,1 数列的极限1.1 数列的概念定义1 无穷多,4,(3),(5),(4),它依次取数轴上的点,上的函数,:,数列,可看作定义域为正整数集,在几何上,数列,可看作数轴上的一个动点,(3)(5)(4)它依次取数轴上的点上的函数:数列可看作定,5,1.2,数列的简单性质,如果数列 满足,那么称数列为,单调递增,数列；,一、单调性,1.2数列的简单性质如果数列 满足那么称数列为单,6,单调递增和单调递减数列统称为,单调数列,.,那么称数列为,单调递减,数列.,如果数列,满足,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.那么称数列为单调递减,7,二、有界性,如果存在M0,对于任何正整数n ，恒有,那么称数列,如果数列所有的项都不超过某一个常数，即,如果数列所有的项都不小于某一常数，即,为有,上界,的,;,那么称数列,那么称数列,为有,下界,的,.,为,有界,的；否则称为,无界,的.,二、有界性 那么称数列 如果数列所有的项都不超过某一个,8,1.3 数列的极限,n,=1,x,n,=2,2,2,1,3,3,4,4,4,3,5,5,6,一、,数列极限的定义,研究一个数列,主要研究当n无限增大时,的变化趋势,.,(,用记号,来表示,),，,对应的,1.3 数列的极限n=1 xn=,9,由观察可知,由观察可知,10,如果数列没有极限,就称该数列是,发散,的,.,时,收敛,于,a,观,察前面所举数列的例子,不难看出：,无限地趋近于某一个常数,a,，就称数列,，如果当,对数列,当,记作,描述性:,定义1,例如上面的数列有,=1,如果数列没有极限,就称该数列是发散的.时收敛于a,观,11,趋势不定,收 敛,发 散,例如,趋势不定收 敛发 散例如,12,例：求下列数列的极限,解,(1),原式=,=1,(2)原式=5.,(5+),3,n,2,(1),(2),例：求下列数列的极限 解(1)原式=1(2)原式,13,极限的定义.,下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列,我们用,来表示,x,与,a,的,接近程度,用,来表示n无限增大,.,先说明在数学上如,何刻划“,无限接近,”,与,“,无限增大,”,：,极限的定义.下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列我们用来,14,(不论它多么,定义,如果对于任意给定的正数,e,小),存在正数N,不等式,都成立,那末就称常数,a,是数列,的极限,记为,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,或,上述定义称为,定义.,或者称数列,收敛于,a,n,x,使得对于,时的一切,(不论它多么定义如果对于任意给定的正数e小),存在正数N,不,15,例1 用数列极限的定义证明,证 记,要使,只要,从而可取正整数,由极限的定义得,则当,时,恒有,例1 用数列极限的定义证明证 记要使只要 从而可取正整数由极,16,几何解释,.,),(,内,都落在,所有的点,时,当,a,a,x,N,n,n,e,e,+,-,面的点只有有限个,(,至多只有,N,个,).,而在这区间外,设,其几何意义为:,即落在点,的,邻域,内，,几何解释.),(,内都落在所有的点时当aaxNnnee+-,17,1.4 收敛数列的性质,1.,唯一性,2.,有界性,由定理2可得无界数列必定发散,.,注意有界性是数列收敛的,必要条件,非充分条件.,有界，但由定义知它不收敛。,如数列,定理1 若数列,收敛,则它的极限唯一,.,定理,2,若数列,收敛，则数列必有界。,1.4 收敛数列的性质 1.唯一性2.有界性由定,18,2 函数的极限,2.1 自变量趋于无穷大时,函数,f,(,x,)的极限,趋于无穷大，实际上包括三种情形：取正值无限增大；取负值而 无限增大;既可取正值,也可取负值,而 无限增大.,(1),x,时,函数,f,(,x,)的极限,例：观察,当,x,绝对值 无限增大时，容易看出，,f,(,x,)无限接近于定数 0,.,2 函数的极限2.1 自变量趋于无穷大时,函数,19,定义,1,设函数,为某个常数,),时有定义,，,当,如果当 的绝对值无限增大时，对应的函数值,无限地,趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当,函数,的极限，记作,或,例如,0.,定义1设函数为某个常数)时有定义，当如果当 的绝对值无限增,20,或,正无穷大时函数,f(x),的极限，记作,趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当,x,趋向于,如果当,时,对应的函数值,f(x),无限地,(2)自变量,x,+时,函数,f,(,x,)的极限的描述：,或正无穷大时函数f(x)的极限，记作趋向于某一个常数A，那,21,例如,由函数,的图形可见,即,时,当,常数,或记作,无限地趋向于,例如,由函数的图形可见,即 时,当常数或记作无限地趋向于,22,对,在直线 的上、下方各作一,直线,与,则总存在一个正数,使得在区间 内,函数 的图形,完全位于,这两条直线之间.,X,A,A-,几何意义,：,对 ,在直线 的上、下方各作一直线与,23,(3),对于自变量无限减小时函数的变化趋势，讨论类似.,例如,由图可见,(3)对于自变量无限减小时函数的变化趋势，讨论类似.例如,由,24,y,=2,x,=0,=,例,y=2x=0=例,25,2.2,自变量趋于有限值时函数的极限,下面讨论当自变量 趋于有限值 时，,x,对应的,无限接近于某一个常数,A,的情形,。,考察函数,当,时的变化趋势。如图所示,：,何种方式趋于,2,相应的函数值,时我们称当 时,函数 以,2,为极限,记作,当 在实数轴上不论以,与,2,无限接近,这,或,2.2自变量趋于有限值时函数的极限 下面讨论当自变量 趋于,26,0,-1,-2,-3,2,4,-4,-1,-2,-3,1,2,3,0-1-2-324-4-1-2-3123,27,定义,3,设函数在点 的某个去心邻域有定义，如果当,无限接近于,（但 ）,时,地趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当,对应的函数值,无限,的极限，记作,时,或,无限接近于常数,A.,(,不论多么小,),表示,一般地,用,表示,(即,与,的接近程度,下面给出函数极限的,定义：,定义3 设函数在点 的某个去心邻域有定义，如果当无限接近于,28,时，,定义,若对,0,0,d,$,e,使当,则称函数 当 时以,A,为极限,记作,或,设函数,定义,4,的某一去心邻域有,在点,恒有,时，定义,若对,0,0d$e使当则称函数 当,29,作一直线,与,得一带形区域,则总可以,内函数的图形,完全位于这两条直线之间。,函数,时以,A,为极限的,几何解释:,当,与,使得在区间,找到相应的的一个正数,对任意给定的,的上、下方各,在直线,作一直线与得一带形区域,则总可以内函数的图形完全位于这两条,30,例：求极限,解：,例：求极限 解：,31,当自变量,x,从,x,0,的右侧趋近于,x,0,时，函数,f,(,x,)无限趋近,常数 A，则称 A 为,x,x,0,时函数,f,(,x,)的右极限。记为：,或,f,(,x,0,0)=A,或,f,(,x,0,+0)=A,2.3 单侧极限,当自变量,x,从,x,0,的左侧趋近于,x,0,时，函数,f,(,x,)无限趋近常,数 A，则称 A 为,x,x,0,时函数,f,(,x,)的左极限。记为：,左、右极限统称为,单侧极限,。,定理1,：,f,(,x,)在,x,x,0,时的极限存在的充要条件是,左、右极限都存在且相等。即,当自变量 x 从 x0 的右侧趋近于 x0 时，函数,32,例：函数,不存在。,例：函数 不存在。,33,例3 求函数,时的左极限和右极限,并证明,当,不存在.,由于,所以,不存在。,解当,1,1,-1,-1,0,同理,例3 求函数 时的左极限和右极限,并证明 当不存在.由于所以,34,例：讨论 在,x,=0 处的极限情况。,解：当,x,0时，,f,（,x,）=1，,当,x,0 时，,f,（,x,）=1.,f,（0 0）=1，,f,（0+0）=1,故,f,（,x,）在,x,=0 处的极限不存在。,例：讨论,35,1.唯一性,2.4函数极限的性质,定理2 若,存在，则此极限值唯一。,2.局部有界性,存在，则,定理3 若,在,的某个去,3.局部保号性,定理,3,若,则,使得对于,内的一切,，有,内有界。,心邻域,1.唯一性2.4函数极限的性质定理2 若存在，则此极限值唯一,36,3 无穷小量与无穷大量,例：,当,x,时，是无穷小量,；,当,x,时，,e,x,是无穷小量；,当,x,0 时，sin,x,是无穷小量,；,当,x,1 时，,x,2,1 是无穷小量,。,3.1 无穷小量与无穷大量,时的无穷小量,简称为无穷小。,定义1 如果,那么函数,称为当,即 以零为极限的变量,称之为,无穷小,.,(1)无穷小量的定义,3 无穷小量与无穷大量例：当 x,37,注1：无穷小量是就自变量的变化过程而言的。,它不是一个很小很小的数，而是极限为 0 的变量。,注2：数 0 是无穷小量。,定理：lim,f,(,x,)=A 的充分必要条件是函数,f,(,x,)可以表示,为常数 A 与无穷小量 之和.即有,f,(,x,)=A+,.,lim,f,(,x,)=A,(2)无穷小与函数极限之间的关系,为当,时的无穷小量,。,注1：无穷小量是就自变量的变化过程而言的。定,38,(3)无穷大量的定义,注：无穷大量是就自变量的变化过程而言的。,它不是一个很大很大的数，而是极限为 的变量,。,在自变量的某一变化趋势下，若函数,f,(,x,)的绝对值无,限地增大，则称,f,(,x,)为无穷大量。记为,lim,f,(,x,)=或,f,(,x,).,=,=2,例,(3)无穷大量的定义 注：无穷大,39,在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；,无穷小量（0）的倒数是无穷大量。,(4)无穷大量与无穷小量的关系,在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；(4),40,3.2 无穷小量的运算性质,推论(1)常数与无穷小量的积仍为无穷小量。,(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量。,解：当,x,0 时，,x,是无穷小量；,定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理4 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。,例 求,.,是有界变量，,当,x,0时，,3.2 无穷小量的运算性质 推论(1),41,3.3无穷小的比较,为了比较两个无穷小趋向于零的“,快慢,”,我们引入无穷小,阶,的概念:,定义3 设 和 是 时的无穷小,且,(2)如果 ,那么称 是比,低阶,的无穷小；,(1),如果,那么称 是比,高阶,的无穷小；记作,3.3无穷小的比较 为了比较两个无穷小趋向于零的“快慢”,42,(3),如果,那么称 与 为,同阶,无穷小；,(4),如果,那么称 与 是,等价,无,穷小。记作,将定义3中的 换成其他形式的极限过程可,得到类似的定义。,例如,所以当,高阶的无穷小,;,时，,是比,(3)如果 ,那么称 与,43,所以当,时,是比 低阶的无穷小.,，当,时，,关于等价无穷小的,替换性质,:,