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,知识清单,主干回顾,高频考点,疑难突破,福建,3,年真题,高效提分作业,第十五讲二次函数的应用,一、列二次函数解应用题,1.,列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的,不同的是,学习了二次函数后,表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式,.,对于应用题要注意以下步骤,:,(1),审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量有几个,已知量与变量之间的基本关系是什么,找出等量关系,(,即函数关系,).,(2),设出两个变量,注意分清自变量和因变量,同时还要注意所设变量的单位要准确,.,知识清单,主干回顾,(3),列函数表达式,抓住题中含有等量关系的语句,将此语句抽象为含变量的等式,这就是二次函数,.,(4),按题目要求,结合二次函数的性质解答相应的问题,.,(5),检验所得解是否符合实际,即是否为所提问题的答案,.,(6),写出答案,.,2.,常见的问题,:,求最大,(,小,),值,(,如求最大利润、最大面积、最小周长等,),、涵洞、桥梁、抛物线的模型问题等,.,二、建立二次函数模型求解实际问题,1.,一般步骤,:,(1),恰当地建立直角坐标系,;(2),将已知条件转化为点的坐标,;(3),合理地设出所求函数表达式,;(4),代入已知条件或点的坐标,求出表达式,;(5),利用表达式求解问题,.,2.,利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数表达式,再利用函数的图象及性质去研究问题,.,【,自我诊断,】,(,打,“,”,或,“,”,),1.,如图,某足球运动员站在点,O,处练习射门,将足球从离地面,0.5 m,的,A,处正对球,门踢出,(,点,A,在,y,轴上,),足球的飞行高度,y(,单位,:m),与飞行时间,t(,单位,:s),之间满,足函数关系,y=at,2,+5t+c,已知足球飞行,0.8 s,时,离地面的高度为,3.5 m.,足球飞行的时间是,s,时,足球离地面最高,最大高度是,4.5 m.(,),2.,某服装店购进单价为,15,元童装若干件,销售一段时间后发现,:,当销售价为,25,元,时平均每天能售出,8,件,而当销售价每降低,2,元,平均每天能多售出,4,件,当每件的,定价为,22,元时,该服装店平均每天的销售利润最大,.(,),高频考点,疑难突破,考点一,用二次函数解决抛物线问题,【,示范题,1,】,(2020,绍兴中考,),如图,1,排球场长为,18 m,宽为,9 m,网高为,2.24 m,队员站在底线,O,点处发球,球从点,O,的正上方,1.9 m,的,C,点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点,A,时,高度为,2.88 m,即,BA=2.88 m,这时水平距离,OB=7 m,以直线,OB,为,x,轴,直线,OC,为,y,轴,建立平面直角坐标系,如图,2.,(1),若球向正前方运动,(,即,x,轴垂直于底线,),求球运动的高度,y(m,),与水平距离,x(m,),之间的函数关系式,(,不必写出,x,的取值范围,).,并判断这次发球能否过网,?,是否出,界,?,说明理由,.,(2),若球过网后的落点是对方场地,号位内的点,P(,如图,1,点,P,距底线,1 m,边线,0.5 m),问发球点,O,在底线上的哪个位置,?(,参考数据,:,取,1.4),【,自主解答,】,略,【,答题关键指导,】,抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题,1.,解题的关键,:,进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题,.,2.,解题技巧,:,所建立的坐标系能使所设的表达式形式最简,.,3.,注意问题,:(1),题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误,.(2),忽视了自变量的取值范围,造成错解,.(3),由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了所在的象限,造成符号错误,.,【,跟踪训练,】,(2020,台州中考,),用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观,(,如图,1).,科学原理,:,如图,2,始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为,H(,单位,:cm),如果在离水面竖直距离为,h(,单位,:cm),的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程,(,水流落地点离小孔的水平距离,)s(,单位,:cm),与,h,的关系为,s,2,=4h(H-h).,应用思考,:,现用高度为,20 cm,的圆柱体塑料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距离,h cm,处开一个小孔,.,(1),写出,s,2,与,h,的关系式,;,并求出当,h,为何值时,射程,s,有最大值,最大射程是多少,?,(2),在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为,a,b,要使两孔射出水的射程相同,求,a,b,之间的关系式,;,(3),如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加,16 cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离,.,略,考点二,应用二次函数性质,解决最优化问题,【,示范题,2,】,(2020,福州一模,),某水果店在两周内,将标价为,10,元,/,斤的某种水果,经过两次降价后的价格为,8.1,元,/,斤,并且两次降价的百分率相同,.,(1),求该种水果每次降价的百分率,;,(2),从第一次降价的第,1,天算起,第,x,天,(x,为整数,),的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示,.,已知该种水果的进价为,4.1,元,/,斤,.,设销售该水果第,x(,天,),的利润为,y(,元,),求,y,与,x(1x15),之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大,.,时间,x(,天,),1x9,9x15,售价,(,元,/,斤,),第,1,次降价后,的价格,第,2,次降价后,的价格,销量,(,斤,),80-3x,120-x,储存和损耗,费用,(,元,),40+3x,3x,2,-64x+400,【,自主解答,】,(1),设该种水果每次降价的百分率是,x,10(1-x),2,=8.1,x=10%,或,x=190%(,舍去,),答,:,该种水果每次降价的百分率是,10%;,(2),当,1x9,时,第,1,次降价后的价格,:10,(1-10%)=9,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y,随,x,的增大而减小,当,x=1,时,y,有最大值,y,大,=-17.7,1+352=334.3(,元,),当,9x15,时,第,2,次降价后的价格,:8.1,元,y=(8.1-4.1),(120-x)-(3x,2,-64x+400),=-3x,2,+60 x+80,=-3(x-10),2,+380,-30,当,9x10,时,y,随,x,的增大而增大,当,10 x15,时,y,随,x,的增大而减小,当,x=10,时,y,有最大值,y,大,=380(,元,),综上所述,第,10,天时销售利润最大,.,【,答题关键指导,】,利用二次函数解决实际问题的步骤,(1),根据题意,列出抛物线解析式,设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型,.,(2),列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围,.,(3),根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处取得,注意若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值,.,(4),用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是利用函数图象与性质求函数的最大值或最小值,如经济问题中的最大利润,还有几何问题中的最大面积、最大高度等,其关键是将实际问题,“,数学化,”,即转化为相应的数学模型,.,【,跟踪训练,】,(2020,武汉中考,),某公司分别在,A,B,两城生产同种产品,共,100,件,.A,城生产产品的总成本,y(,万元,),与产品数量,x(,件,),之间具有函数关系,y=ax,2,+bx+c.,当,x=10,时,y=400;,当,x=20,时,y=1 000.B,城生产产品的每件成本为,70,万元,.,(1),求,a,b,的值,;,(2),当,A,B,两城生产这批产品的总成本的和最少时,求,A,B,两城各生产多少件,?,(3),从,A,城把该产品运往,C,D,两地的费用分别为,m,万元,/,件和,3,万元,/,件,;,从,B,城把该产品运往,C,D,两地的费用分别为,1,万元,/,件和,2,万元,/,件,.C,地需要,90,件,D,地需要,10,件,在,(2),的条件下,直接写出,A,B,两城总运费的和的最小值,(,用含有,m,的式子表示,).,【,解析,】,(1),由题意得,:,当产品的数量为,0,时,总成本也为,0,即当,x=0,时,y=0,则有,:,解得,:,a=1,b=30;,(2),由,(1),得,:y=x,2,+30 x,设,A,B,两城生产这批产品的总成本为,w,则,w=x,2,+30 x+70(100-x)=x,2,-40 x+7 000,=(x-20),2,+6 600,由二次函数的性质可知,当,x=20,时,w,取得最小值,最小值为,6 600,万元,此时,100-20=80.,答,:,A,城生产,20,件,B,城生产,80,件,;,(3),设从,A,城运往,C,地的产品数量为,n,件,A,B,两城总运费的和为,P,则从,A,城运往,D,地的产品数量为,(20-n),件,从,B,城运往,C,地的产品数量为,(90-n),件,从,B,城运往,D,地的产品数量为,(10-20+n),件,由题意得,:,解得,10n20,P=mn+3(20-n)+(90-n)+2(10-20+n),整理得,:P=(m-2)n+130,根据一次函数的性质分以下两种情况,:,当,02,10n20,时,P,随,n,的增大而增大,则,n=10,时,P,取最小值,最小值为,10(m-2)+130=10m+110.,答,:,02,时,A,B,两城总运费的和为,(10m+110),万元,.,福建,3,年真题,高效提分作业,
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