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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,讲解人：XXX 时间：,2020.6.1,PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2,2.3,数学归纳法,第,2,章 推理与证明,人教版高中数学选修,2-2,讲解人：XXX 时间：2020.6.1PEOPLES E,1,通过对,n=1,，,2,，,3,，,4,前,4,项的归纳，我们已经猜出其通项公式为,课前导入,通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式,2,这个猜想对前,4,项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？,这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从,n=5,开始一个个往下验证,.,这个方法可行吗,?,课前导入,这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？这个,3,我们来分析此方法：,一般来说，与正整数,n,有关的命题，当,n,比较小时可以逐个验证，但当,n,比较大时，验证起来会很麻烦,.,特别是证明,n,取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的,.,因此，,从,n=5,开始逐个往下验证的想法价值不大,.,我们需要,另辟蹊径,，寻求一种方法：,通过有限个步骤的推理，证明,n,取所有正整数都成立,.,课前导入,我们来分析此方法：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小,4,大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下,.,只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下,最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下,.,新知探究,大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保,5,这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？,探究,思考,动动脑,想一想，自己总结出倒下的条件,.,新知探究,这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？探究思考,6,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：,（,1,）第一块骨牌倒下；,（,2,）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下；,你认为条件（,2,）的作用是什么？,新知探究,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块,7,可以看出，条件（,2,）事实上给出了一个递推关系：当第,k,块倒下时，相邻的第,k+1,块也倒下,.,这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下,.,事实上，,无论有多少块骨牌，只要保证,(1)(2),成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下,.,新知探究,可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时,8,大家现在能证明这个猜想吗？,这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,新知探究,大家现在能证明这个猜想吗？这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗,9,游戏的条件（,1,）,由条件容易知道，,n=1,时猜想成立,.,游戏的条件（,2,）,下面我们证明此猜想：,相当于,类比,证明一个递推关系,.,考虑,新知探究,游戏的条件（1）由条件容易知道，n=1时猜想成立.游戏的条件,10,继续解答,如果,n=k,时猜想成立，即,，,那么当,n=k+1,时猜想也成立，即,.,新知探究,继续解答如果n=k时猜想成立，即,11,这样，对于猜想，由已知,n=1,成立，就有,n=2,也成立；,n=2,成立，就有,n=3,也成立；,n=3,成立，就有,n=4,也成立；,n=4,成立，就有,n=5,也成立,所以，对任意的正整数,n,，猜想都成立,.,继续解答,此猜想正确，即,新知探究,这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成,12,一般地，证明一个,与正整数,n,有关的命题,，可按下列步骤进行：,证明当,n,取第一个值,n,0,时命题成立；,这种证明方法就叫做,数学归纳法,.,归纳奠基,归纳递推,新知探究,2.,假设当,n=k(k N*,，,kn,0,),时命题成立，证明当,n=k+1,时命题也成立,.,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下,13,用框图来表示此证明方法,:,验证,n=n,0,时命题成立,.,当,n=k(kn,0,),时命题成立，证明,n=k+1,时命题也成立,.,归纳奠基,归纳递推,命题对从,n,0,开始所有的正整数,n,都成立,.,新知探究,用框图来表示此证明方法:验证n=n0 时命题成立.当n=k(,14,用数学归纳法证题时,应注意的事项,:,“,归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据,.,具体说明如下：,(1),第一步,归纳奠基,必须有第一步,，如果没有第一步，证明不可靠；,新知探究,用数学归纳法证题时,应注意的事项:“归纳奠基”和“归纳递,15,用数学归纳法进行证明时，,第一步从,n,等于几开始，要根据具体问题而定,.,如果要证明的命题是对不小于 的全体正整数都成立，则要从,n=,证起；,如果要证明的命题是对全体正整数都成立的，则要从,n=1,证起；,一般来说,如果要证明的命题是对全体自然数,(,包括,0),都成立的，则要从,n=0,证起,.,新知探究,用数学归纳法进行证明时，第一步从n等于几开始，要根据具体问题,16,(2),第二步,归纳递推,新知探究,“,假设,n=k(k N*,，,kn,0,),时命题成立，证明当,n=k+1,时命题也成立”,其,本质是证明一个递推关系,，,归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如,n=1,）不断发展，以至无穷,.,如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数,n,都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立,.,(2)第二步归纳递推新知探究“假设n=k(k,17,注意,用数学归纳法证明命题时，,难点和关键都在第二步,，而第二步主要在于合理运用归纳假设，,即以“,n=k,时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当,n=k+1,时命题成立”,.,不能不使用“,n=k,时命题成立”这个条件，而直接将,n=k+1,代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明”并不推出递推关系：,n=k,时命题成立,n=k+1,时命题也成立,.,新知探究,注意用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主,18,归纳,数学归纳法的适用范围：,数学归纳法一般被用于证明某些与正整数,n(n,取无限多个值,),有关的数学命题，,但是，并不能简单地说所有与正整数,n(n,取无限多个值,),有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，,一般说，从,n=k,时的情形过渡到,n=k+1,时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难,.,新知探究,归纳数学归纳法的适用范围：数学归纳法一般被用于证明某些与正整,19,用数学归纳法证明,提示,新知探究,用数学归纳法证明提示新知探究,20,证明的关键是,，,如何从,n=k,时的情形过渡到,n=k+1,时的情形，,即：,要证明,n=k+1,时等式成立，应如何利用,n=k,时等式成立这个假设,.,新知探究,证明的关键是，如何从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形，,21,新知探究,根据（,1,）和（,2,）,可知等式对任何正整数都成立,.,这句是不可缺少的！,新知探究 根据（1）和（2）,可知等式对任何正,22,分析,新知探究,（,1,）,猜想 的表达是的关键是猜想其分母的表达式,.,观察 的分母可以发现，第一项为,4,后面的每一项比前一项增加,3,，于是，我们猜想：,的分母是首项为,4,，公差为,3,的等差数列,.,写出这个等差数列的通项公式后，就容易猜想出 的表达式,.,(2),用数学归纳法证明时，要,注意从,n=k,时的情形到,n=k+1,时的情形是怎样过渡,的，即要,证明,n=k+1,时等式成立，应如何利用,n=k,时等式成立这个假设,.,分析新知探究（1）猜想 的表达是的关键是猜想其分母,23,解：,可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数,n,一致，分母可用项数,n,表示为,3n+1,于是可以猜想,新知探究,解：可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分,24,下面我们用数学归纳法证明这个猜想,.,新知探究,根据,(1),和,(2),可知等式对任何正整数都成立,.,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.新知探究根据(1)和(2),25,已知,m,，,n,为正整数,.,（,）用数学归纳法证明：当,x,-1,时，,(1+,x,),m,1+,mx,；,（,）对于,n,6,，已知,，求证,，,m,=1,2,，,n,；,课堂练习,（,）证：用数学归纳法证明：,（,）,当,m=1,原不等式成立；当,m=2,时，左边,，右边,=1+2x,，因为,所以左边,右边，原不等式成立；,解：,（,）,假设当,m=k,时，不等式成立，即,已知m，n为正整数.，求证，m=1,2，n；课堂练习（）,26,当,m=k+1,时，,于是在,不等式,两边同时乘以,1+x,得,所以,即,m=k+1,时，不等,式也成立,.,综合（,）（,）知，对一切正整数,m,，不等式都成立,课堂练习,当m=k+1时，于是在不等式两边同时乘以1+x得所以即m=k,27,（,）证：当,n,6,，,mn,时，,由（,）得,于是,课堂练习,（）证：当n6，mn时，由（）得 于是 课堂练习,28,某个命题当,n=k(kN),时成立，可证得当,n=k+1,时也成立,.,现在已知当,n=5,时该命题不成立，那么可推得（）,A.n=6,时该命题不成立,B.n=6,时该命题成立,C.n=4,时该命题不成立,D.n=4,时该命题成立,C,课堂练习,某个命题当n=k(kN)时成立，可证得当n=k+1时也,29,1.,数学归纳法的概念：,证明当,n,取第一个值,n,0,时命题成立；,课堂小结,假设当,n=k(k N*,，,kn,0,),时命题成立，证明当,n=k+1,时命题也成立,.,2,.数学归纳法两个步骤间的关系:,“,第一步,归纳奠基和第二步,归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据,.,3.数学归纳法的适用范围：,一般来说，数学归纳法只适用于和正整数有关的命题,.,1.数学归纳法的概念：证明当n取第一个值n0 时命题成立；,30,讲解人：XXX 时间：,2020.6.1,PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2,感谢你的聆听,第,2,章 推理与证明,人教版高中数学选修,2-2,31,讲解人：XXX 时间：2020.6.1PEOPLES E,
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