数学北师大必修四ppt课件第一章三角函数

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,最新中小学教学课件,*,-,1,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,Z,IZHUYUXI,自主预习,D,ANGTANG JIANCE,当堂检测,H,EZUOXUEXI,合作学习,首页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,4,正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式,4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式,4,.,1,单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,4,.,2,单位圆与周期性,4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单,数学北师大必修四ppt课件第一章三角函数,一,二,三,四,五,一、单位圆,在直角坐标系中,以,原点,为圆心,以,单位长,为半径的圆,称为单位圆,.,一二三四五一、单位圆,一,二,三,四,五,二、任意角的正弦函数、余弦函数,1,.,利用单位圆定义任意角的正、余弦函数,如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角,使角,的顶点与,原点,重合,始边与,x,轴非负半轴,重合,终边与单位圆交于唯一的点,P,(,u,v,),我们把点,P,的纵坐标,v,定义为角,的,正弦函数,记作,v=,sin,;,点,P,的横坐标,u,定义为角,的,余弦函数,记作,u=,cos,.,一二三四五二、任意角的正弦函数、余弦函数,一,二,三,四,五,对于给定的角,点,P,的纵坐标,v,、横坐标,u,都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以,角,为自变量,以单位圆上,点的坐标,为函数值的函数,.,2,.,利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数,如图所示,在角,终边上任取一点,P,1,(,u,1,v,1,),设,|OP,1,|=r,由相似形原,一二三四五对于给定的角,点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确,一,二,三,四,五,3,.,正弦函数和余弦函数的定义域与值域,(1),通常用,x,y,分别表示自变量与函数值,因此正弦函数表示为,y=,sin,x,(,x,R,),正弦函数值也称为正弦值,.,余弦函数表示为,y=,cos,x,(,x,R,),余弦函数值也称为余弦值,.,(2),由定义可知,:,正弦函数,y=,sin,x,和余弦函数,y=,cos,x,的定义域都是,实数集,R,值域都是,-,1,1,.,【做一做,1,】,若角,的终边过点,(,-,1,2),则,sin,等于,(,),答案,:,D,一二三四五3.正弦函数和余弦函数的定义域与值域答案:D,一,二,三,四,五,又,角,是锐角,m=,2,符合题意,.,答案,:,2,一二三四五又角是锐角,m=2符合题意.,一,二,三,四,五,三、正弦值、余弦值的符号,三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的,.,正弦的符号决定于纵坐标,y,的符号,;,余弦的符号决定于横坐标,x,的符号,.,正弦、余弦函数值在每个象限的符号如图所示,.,也可用下表表示,:,一二三四五三、正弦值、余弦值的符号,一,二,三,四,五,【做一做,4,】,判断下列各三角函数值的符号,:,解,:,(1),因为,700,=,360,+,340,所以,700,是第四象限角,故,sin,700,0;,一二三四五【做一做4】判断下列各三角函数值的符号:解:(,一,二,三,四,五,四、周期函数,1,.,一般地,对于函数,y=f,(,x,),如果存在非零实数,T,对定义域内的任意一个,x,值,都有,f,(,x+T,),=f,(,x,),我们就把,f,(,x,),称为周期函数,T,称为这个函数的周期,.,若周期函数,f,(,x,),的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就称为,f,(,x,),的最小正周期,.,今后提到的三角函数的周期,如未特别说明,一般都是指它的最小正周期,.,2,.,正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的周期都是,2,k,(,k,Z,且,k,0),它们的最小正周期均为,2,.,一二三四五四、周期函数,一,二,三,四,五,【做一做,5,】,(1),若函数,f,(,x,),的定义域为,R,且对任意,x,R,都有,f,(,x+,4),=f,(,x,),则,f,(,x,),的周期是,.,解析,:,(1),由周期函数定义知,f,(,x,),的周期是,4;,(2),因为正弦函数是周期函数,4,是它的一个周期,所以,sin(4,+,),=,sin,=.,一二三四五【做一做5】(1)若函数f(x)的定义域为R,且,一,二,三,四,五,五、,2,k,+,(,k,Z,),的正弦、余弦公式,1,.,在单位圆中,由任意角的正弦、余弦函数的定义可得,:,sin(2,k,+,),=,sin,(,k,Z,),cos(2,k,+,),=,cos,(,k,Z,),.,2,.,部分特殊角的三角函数值,.,一二三四五五、2k+(kZ)的正弦、余弦公式,一,二,三,四,五,一二三四五,一,二,三,四,五,【做一做,6,】,sin 420,cos 750,+,sin(,-,690,)cos(,-,660,),=,.,解析,:,原式,=,sin(360,+,60,)cos(720,+,30,),+,sin(,-,720,+,30,)cos(,-,720,+,60,),=,sin,60,cos,30,+,sin,30,cos,答案,:,1,一二三四五【做一做6】sin 420cos 750+s,一,二,三,四,五,一二三四五,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,根据正、余弦的定义求值,思路分析,:,(1),可先由,=,确定出其终边与单位圆交点的坐标,再根据定义写出正、余弦值,;(2),可直接根据定义求解,.,探究一探究二探究三探究四思想方法根据正、余弦的定义求值 思路,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况,:,(1),若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值,;,(2),若已知角,终边上一点,P,(,x,y,),是单位圆上的点,则,sin,=y,cos,=x,;,(3),若已知角,终边上一点,P,(,x,y,),不是单位圆上一点,则首先求,(4),若已知角,终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论,.,探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟利用三角函数的定义求,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,1,(1),若,=-,则,sin,=,cos,=,.,解析,:,(1),由于,=-,因此角,终边与单位圆交点是,(,-,1,0),.,故,sin,=,0,cos,=-,1,.,探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1(1)若=-,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一探究二探究三探究四思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,正、余弦函数值的符号判断及应用,【例,2,】,(1),如果点,P,(sin,+,cos,sin,cos,),位于第二象限,那么角,所在的象限是,(,),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,(2),判断下列各式的符号,:,sin(,-,670,)cos 1 230,;,sin 8cos 8,.,思路分析,:,(1),由已知条件确定出,sin,及,cos,值的符号,从而确定,的象限,;(2),先判定积式中每一个因式中角的象限,再确定相应函数值的符号,最后确定积的符号,.,探究一探究二探究三探究四思想方法正、余弦函数值的符号判断及应,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(1),解析,:,因为点,P,位于第二象限,所以,所以角,在第三象限,故选,C,.,答案,:,C,探究一探究二探究三探究四思想方法(1)解析:因为点P位于第二,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2),解,:,因为,-,670,=-,2360,+,50,所以,-,670,角是第一象限角,则,sin(,-,670,),0,.,又,1,230,=,3360,+,150,所以,1,230,角是第二象限角,则,cos,1,230,0,.,所以,sin(,-,670,)cos,1,230,0,.,因为,2,+,8,0,cos,8,0,故,sin,8cos,8,0,cos,0,角,的终边在第一或第二象限或,y,轴的非负半轴上,.,cos,0,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,2,k,+,(,k,Z,),的正、余弦公式的应用,【例,3,】,求下列各式的值,.,思路分析,:,将一般角的三角函数转化为特殊角的三角函数求值,.,反思感悟,要熟记公式,sin(2,k,+,),=,sin,cos(2,k,+,),=,cos,该公式可以将任意角的正、余弦值转化为,0,2,或,0,360,内的角的正、余弦值,再通过特殊角的函数值求解,.,探究一探究二探究三探究四思想方法2k+(kZ)的正、余,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,4,求下列三角函数值,.,探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练4求下列三角函数值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,周期函数及其简单应用,【例,4,】,已知函数,f,(,x,),是周期为,4,的奇函数,且当,0,x,2,时,f,(,x,),=x,2,求,f,(,-,2 019),的值,.,思路分析,:,通过周期和奇偶性将,f,(,-,2,019),转化为自变量在,0,2,内的函数值代入求解,.,解,:,(,方法一,),f,(,-,2,019),=f,(,-,5054,+,1),=f,(1),=,1,2,=,1,.,(,方法二,),f,(,-,2,019),=-f,(2,019),=-f,(5044,+,3),=-f,(3),=-f,(,-,1),=f,(1),=,1,2,=,1,.,反思感悟周期函数求函数值的方法,1,.,根据函数的周期求函数值,通常是利用周期将待求函数值的自变量的值进行转化,直至其成为已知条件中的自变量的值或范围,再代入求解,.,2,.,求解这类问题的关键是利用周期对自变量的值进行转化,.,探究一探究二探究三探究四思想方法周期函数及其简单应用,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,A,.,1B,.-,1,C,.,1D,.,无法确定,答案,:,A,探究一探究二探究三探究四思想方法A.1B.-1答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,分类讨论思想在三角函数值中的应用,【典例】,已知角,的终边经过点,(,-,4,m,3,m,)(,m,0),求,sin,+,cos,的值,.,思路点拨,:,首先应用分类讨论思想确定角的终边所在的象限,然后求出,sin,cos,的值即可,.,探究一探究二探究三探究四思想方法分类讨论思想在三角函数值中的,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛,给定某角终边上一点,若该点含有参数,则需先对参数进行讨论,再结合题中角的象限进行取舍,.,探究一探究二探究三探究四思想方法方法点睛给定某角终边上一点,1,2,3,4,5,解析,:,已知交点在单位圆上,根据三角函数的定义可知,sin,=-.,答案,:,B,12345解析:已知交点在单位圆上,根据三角函数的定义可知s,1,2,3,4,5,2,.,已知角,的终边过点,(3,-,4),则,cos,=,(,),解析,:,x=,3,y=-,4,r=,5,.,cos,=.,答案,:,C,123452.已知角的终边过点(3,-4),则cos=,1,2,3,4,5,3,.,下列三角函数值的符号判断错误的是,(,),A.sin 156,0B.cos,0,C.sin 2,0D.cos 2,0,.,答案,:,C,123453.下列三角函数值的符号判断错误的是(),1,2,3,4,5,4,.,若,f,(,x,),的定义域为,R,且满足,f,(,x+,3),=f,(,x,),f,(,x,),是奇函数,f,(1),=-,4,则,f,(11),=,.,解析,:,f,(11)